مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,}$ التي تحقق المعادلة:

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}$

بحيث يكون كلا العددان ${\displaystyle c_{0}}$ و${\displaystyle c_{n}}$ مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,}$، في حين سنستعمل الترميز التالي ${\displaystyle \int _{a}^{b}\,}$ كاختصار للتكامل:

${\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}$.

سنصل إلى المعادلة:

${\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}$

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

${\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}$

حيث

${\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}$

${\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}$

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :${\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}$ هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد ${\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,}$ ليس كذلك.

والسبب في أن ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}$ عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}$

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

${\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,}$ من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن ${\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,}$ هو جداء الدوال ${\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,}$ و${\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}$. وباستعمال المحد العلوي لـ ${\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,}$ و${\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,}$ على المجال ${\displaystyle [n,0]}$ وبما أن:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,}$ لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

• بوابة رياضيات