مبرهنة فيفياني

النقطة D في المثلث ABC المتساوي الأضلاع تحقق أن ${\displaystyle h=l+m+n\,}$

بمكن إثبات مبرهنة فيفياني باستخدام المساحات

حيث مساحة المثلث = ½ القاعدة × الارتفاع.

ABC مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه a وارتفاعه h ،

وفيه النقطة D و l,n,m أطوال المسافات بين النقطة D

وأضلاع المثلث AB,BC,AC على الترتيب.

${\displaystyle Area_{ABC}=Area_{ADB}+Area_{BDC}+Area_{ADC}\,}$

وبالتعويض عن المساحات السابقة في قانون مساحة المثلث نصل إلى:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a.h={\frac {1}{2}}a.l+{\frac {1}{2}}a.n+{\frac {1}{2}}a.m}$

وبالقسمة على ${\displaystyle {\frac {1}{2}}a}$ نصل إلى:

${\displaystyle h=l+n+m\,}$

وهو المطلوب.

يمكن أن تعمم مبرهنة فيفياني أيضا من أجل النقاط الواقعة خارج المضلع المنتظم بحيث تؤخذ أطوال سالبة للقطع الواقعة بالاتجاه الآخر بالنسبة لأضلاع المضلع أو امتداداتها، ويمكن أن تعمم في الهندسة الفراغية من أجل أبعاد النقطة عن وجوه/حروف مجسم أفلاطوني^{[بحاجة لمصدر]}.

• مثلث متساوي الأضلاع
• مضلع منتظم

• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية