مبرهنة غرين

إذا كانت D منطقة بسيطة حدودها تحوي المنحيات C₁، C₂، C₃, C₄، يصبح تمثيل مبرهنة غرين ممكناً.

فيما يلي برهان للنظرية في حالة منطقة بسيطة D، وهي منطقة من النوع I (تلفظ واحد) تكون فيها C₂ وC₄ عبارة عن مستقيمين قائمين. يوجد أيضا برهان مماثل للحالة D منطقة من النوع II (تلفظ اثنان) حيث تكون C₁ وC₃ خطوط مستقيمة. يمكن استخلاص الحالة العامة من هذه الحالة الخاصة بتقريب المجال D باتحاد مؤلف من مجالات بسيطة.

إذا كان ممكن إثبات أن

${\displaystyle \int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }$

و

${\displaystyle \int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }$

صائبتان، فإنه يكون قد تم برهنة نظرية غرين في الحالة الأولى.

عرف منطة D من النوع I كما هو مبين في الصورة:

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$

حيث g₁ وg₂ هما دالتان متصلتان على الفترة [a, b]. احسب التكامل الثنائي في العلاقة (1):

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} \end{aligned}}}$

الآن قم باحتساب التكامل الخطي في العلاقة (1). C يمكن إعادة صياغتها كاتحاد لأربعة منحنيات: C₁, C₂, C₃, C₄.

مع C₁، استعن بالدوال الوسيطة: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. على ذلك

${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx}$

مع C₃، استخدم الدوال الوسيطة: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. بالتالي

${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx}$

التكامل على C₃ يصبح سالباً لأنه يخالف الاتجاه الموجب b إلى a، حيث أن C متجهة إيجاباً (عكس عقارب الساعة). على C₂ وC₄ بينما x تبقى ثابتة ما يعني أن

${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0}$

لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx+\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx\qquad \mathrm {(4)} \end{aligned}}}$

بدمج (3) مع (4)، نحصل على العلاقة (1). بحسابات مماثلة يمكن الحصول على العلاقة (2).

• بوابة الفيزياء
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات