مبرهنة رول

نصف دائرة شعاعها يساوي r.

ليكن r عددا موجبا ولتكن الدالة التالية:

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r].}$

الرسم البياني لدالة القيمة المطلقة.

إذا لم يتوفر شرط الاشتقاق داخل المجال الذي هو بصدد الدراسة، فإن مبرهنة رول قد لا تُطبق. على سبيل المثال، دالة القيمة المطلقة

${\displaystyle f(x)=|x|,\qquad x\in [-1,1].}$

لا تطيق مبرهنة رول : رغم أن f (−1) = f (1)، فإنه لا يوجد عدد c محصور بين ناقص واحد والواحد حيث حيث تنعدم مشتقة f (أي f ′(c) = 0). يعود ذلك إلى كون الدالة f غير قابلة للاشتقاق عند الصفر. انظر أيضا إلى نقطة حرجة (رياضيات).

وجود القيمة r يعني أن هناك قيمة قصوى أو دنيا. نفترض f موجبة في (أ، ب).

في هذه الحالة يكون للدالة f على الأقل قيمة قصوية.

إذا افترضنا أنه لا توجد القيمة r، وf(a) = 0 وf موجبة. فهذا يعني أن الدالة f متزايدة أي أن f(b)#0 وهذا يتناقض مع f(b)=0.