مبرهنة القيمة الوسطية

مبرهنة القيمة الوسطية تتعلق وتكافئ اكتمال الأعداد الحقيقية. لا تطبق في مجموعة الأعداد الجذرية Q، لأن هذه المجموعة فيها فجوات بين عناصرها. الأعداد غير الجذرية هي التي تملأ هذه الفجوات. على سبيل المثال، الدالة ${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$ ، معرفةً على مجموعة الأعداد الجذرية (أي ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$) تحقق ${\displaystyle f(0)=-2}$ و ${\displaystyle f(2)=2}$، ورغم ذلك ليس هنا من عدد جذري ${\displaystyle x}$ يحقق ${\displaystyle f(x)=0}$ لأن ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ عدد غير جذري.

يمكن البرهان على مبرهنة القيمة الوسطية بالاعتماد على مفهوم خاصية الاكتمال للأعداد الحقيقية.

أول من برهن على هذه المبرهنة عالم الرياضيات برنارد بولزانو. كان ذلك عام 1817. جاء أوغستين لوي كوشي ببرهان آخر في عام 1821. اعتمد كلا العالمين في برهانهما على أعمال عالم الرياضيات جوزيف لوي لاغرانج. لفكرة القيمة الوسطية أصول أقدم من ذلك حيث برهن عالم الرياضيات سيمون ستيفين على المبرهنة ذاتها بالنسبة لمتعددات الحدود مستعملا من أجل هذا الهدف مثال الدوال التكعيبية. رأى بعض العلماء آنذاك، أن المبرهنة بديهية وأنها لا تحتاج إلى برهان.

كعس مبرهنة القيمة الوسطية غير صحيح. انظر إلى مبرهنة داربو في التحليل.

ترتبط مبرهنة القيمة الوسطية ارتباطا شديدا بالمفهوم الطوبولوجي المتمثل في الفضاءات المتصلة منبثقةً من الخصائص الأساسية للمجموعات المتصلة في الفضاءات المترية. انظر إلى مبرهنة بورسوك-أولام.

• إذا كان ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ فضاءان متريان وكانت ${\displaystyle f}$ دالة متصلة من X إلى Y (${\displaystyle f\colon X\to Y}$)، وكان ${\displaystyle E}$ جزءا من ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle E\subset X}$)، وكان هذا الأخير فضاءا متصلا، فإن ${\displaystyle f(E)}$ هو أيضا فضاء متصل.

• مبرهنة القيمة الوسطى.

1. ترجمة معنوية إنجليزية، ويقال عنها مبرهنة القيم الوسطية ومبرهنة القيم الوسيطية ومبرهنة القيم المتوسطة وهذه فرنسية المأخذ؛ تجوز تسميتها بالعربية قضية المقادير البينية.

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات