كتلة بلانك

يمكن استخلاص صيغة كتلة بلانك بواسطة تحليل الأبعاد . في هذه الطريقة يتم البدء بثلاث ثوابت فيزيائية ħ, c, و G وجمعهم

${\displaystyle m_{P}=c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}},}$

حيث n₁,n₂,n₃ ثوابت تحدد بمطابقة الجانبين , يستخدم L رمز للطول , T الزمن, M الكتلة , "[x]" أبعاد للكميات الفيزيائية x فتكون :

${\displaystyle [c]=LT^{-1}\ }$

${\displaystyle [G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}\ }$

${\displaystyle [\hbar ]=M^{1}L^{2}T^{-1}\ }$.

ولذلك

${\displaystyle [c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}}]=M^{-n_{2}+n_{3}}L^{n_{1}+3n_{2}+2n_{3}}T^{-n_{1}-2n_{2}-n_{3}}}$

إذا كنا نريد أبعاد الكتلة , نربط بين المعادلات التالية

${\displaystyle -n_{2}+n_{3}=1\ }$

${\displaystyle n_{1}+3n_{2}+2n_{3}=0\ }$

${\displaystyle -n_{1}-2n_{2}-n_{3}=0\ }$.

الحل لهذا النظام هو

${\displaystyle n_{1}=1/2,n_{2}=-1/2,n_{3}=1/2.\ }$

وبالتالي, فإن كتلة بلانك

${\displaystyle m_{P}=c^{1/2}G^{-1/2}\hbar ^{1/2}={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}.}$

الطاقةالمحتملة بين كتلتين يفصل بينهما مسافة r تساوي طاقة الفوتون أو طاقة الجذب , أوتكافئ

${\displaystyle E={\frac {Gm_{p}^{2}}{r}}={\frac {\hbar c}{r}}}$

وباختصار نصف القطر من الطرفين

${\displaystyle Gm_{p}^{2}=\hbar c}$

وبأخذ الجذر التربيعي للحصول على الكتلة

${\displaystyle m_{p}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$

يمكن الحصول على كتلة بلانك من الطول الموجي لكومتون-تشتت مقياس الطول عند ظهور الأثر الكمي-و نصف قطر شفارتزشيلد,[1] حيث أن طول كومتون الموجي يعطى بالعلاقة

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{mc}}}$

و نصف قطر شفارتزشيلد هو

${\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

وبالمساواة بينهما نحصل على

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {hc}{2G}}}={\sqrt {\frac {\pi c\hbar }{G}}}}$

حيث أن ${\displaystyle h=2\pi \hbar }$.