قوس الظل ثنائي العمدة

تُعرَّف دالة ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ على أنها الزاوية في المستوى الإقليدي، المعطاة بالراديان، بين المحور الموجب ${\displaystyle x}$ ونصف المستقيم من الأصل إلى النقطة ${\displaystyle (x,\,y)}$ .

atan2(y, x) تُرجع الزاوية θ بين نصف المستقيم إلى النقطة (x, y) والمحور x الموجب، مقيدًا بـ (−π, π] .

رسم بياني لـ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ بدلالة ${\displaystyle y/x}$

ظهرت دالة ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ لأول مرة في لغة البرمجة فورتران (في تنفيذ FORTRAN-IV الخاص بـ IBM) عام 1961. كان من المفترض في الأصل إرجاع قيمة صحيحة لا لبس فيها للزاوية θ في التحويل من الإحداثيات الديكارتية (x, y) إلى الإحداثيات القطبية (r, θ) .

على قدم المساواة، ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ هي عمدة (وتسمى أيضًا الطور أو الزاوية) للعدد المركب ${\displaystyle x+iy}$ .

تُرجِع ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ قيمة واحدة ${\displaystyle \theta }$ بحيث ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$ ومن أجل ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

إذا كانت x > 0، تُعطى الزاوية من خلال:

${\displaystyle \theta =\mathop {\rm {atan2}} (y,x)=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right).}$

ومع ذلك، عندما x < 0 ، الزاوية المعطاة بواسطة ${\displaystyle \arctan({\tfrac {y}{x}})}$ النقاط في الاتجاه المعاكس للزاوية الصحيحة، ويجب إضافة قيمة ${\displaystyle \pm \pi }$ (أو${\displaystyle \pm 180^{\circ }}$) إلى θ لوضع النقطة في الربع الصحيح من المستوى الإقليدي. يتطلب هذا معرفة إشارتي x و y بشكل منفصل، والتي تُفقد عند قسمة y على x ، ومن هنا تأتي الحاجة إلى قوس ظل متغيرين.

نظرًا لأنه يمكن إضافة أي عدد صحيح مضاعف لـ 2π إلى θ دون تغيير x أو y ، مما يقتضي قيمة مبهمة للقيمة التي تم إرجاعها، القيمة الأساسية للزاوية، في الفترة ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$ . θ ، بحيث تكون زوايا عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة وتكون سالبة في اتجاه عقارب الساعة. بعبارة أخرى، تقع ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ في الفترة المغلقة [0, π] عندما y ≥ 0 ، وفي الفترة المفتوحة (−π, 0) عندما y < 0 .