قواعد التفاضل

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

${\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}$

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}$

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}$

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$

${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}$

إن كانت ${\displaystyle y=fg}$

فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين:

${\displaystyle \ln(y)=\ln(fg)}$

من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما ${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}$، إذًا بتطبيق هذه الخاصية تصير الصيغة:

${\displaystyle \ln(y)=\ln(f)+\ln(g)}$

باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:

${\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}$

بضرب الجانبين في ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y'=y\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}$

ثم يعوض بقيمة ${\displaystyle y}$ التي هي الدالة الأساسية ${\displaystyle y=fg}$:

${\displaystyle y'=fg\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}$

بالضرب واختصار الكسور:

${\displaystyle y'=f'g+g'f}$

ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما ${\displaystyle \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)}$، ويمكن استخدام الطريقة السابقة لاشتقاق الدوال المكونة من مضروب و/أو مقسوم دالتين فأكثر.

${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}$

إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية، فإن :

${\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}$

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها.

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}$