فرق محدود

هناك ثلاث أشكال شائعة للفروق المحدودة:
الفروق الأمامية ويعبر عنها بالصيغة
${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x)}$
والفروق الخلفية التي تستخدم قيم الدالة عند ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle x-h}$ بدلاً من ${\displaystyle x+h}$ و ${\displaystyle x}$
${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)}$
وأخيراً الفروق المركزية التي يعبر عنها بالعلاقة
${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h)}$

يتم الحصول على تفاضل الدالة ${\displaystyle f(x)\,}$ عند النقطة ${\displaystyle x}$ من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:
${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$
فإذا كان لـ ${\displaystyle h}$ قيمة ثابتة لا تساوي الصفر بدل أن تكون تسعى للصفرفإن الحد الأيمن للمعادلى السابقة يمكن أن يكتب كمايلي:
${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}$
وبذلك فإن الفرق الأمامي المقسوم على ${\displaystyle h}$ هو تقريب للتفاضل إذا كانت قسمة ${\displaystyle h}$ صغيرة. والخطأ في هذا التقريب يمكن اشتقاقه من مبرهنة تايلور. بفرض أن ${\displaystyle f}$ قابل للتفاضل بشكل مستمر فإن الخطأ يعطى بالعلاقة
${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0)}$
ونفس المعادلة تكون صحيحة للفروق الخلفية
${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)}$

• متسلسلة تايلور وماكلورين
• قوانين التقارب
• طريقة الفروق المنتهية

• رسالة بعنوان: طریقة الفروق المحدودة لحل معادلة كورتویج-دیفاریس المزدوجة

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي