عزم انحناء

تعبر الإشارة السالبة عن ان العزم الذي يسبب دوران الجسم في اتجاه عقارب الساعة حول محور يجب أن يمتلك إشارة سالبة. ولكن الإشارة الفعلية تعتمد على اختيار المحاور${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{x}=\mathbf {e} _{x},\mathbf {E} _{y}=-\mathbf {e} _{z},\mathbf {E} _{z}=\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}-F\,\mathbf {E} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}+0\,\mathbf {E} _{z}\,.}$

ومن ثم:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {E} _{x}&\mathbf {E} _{y}&\mathbf {E} _{z}\\x&0&0\\0&0&-F\end{matrix}}\right|=Fx\,\mathbf {E} _{y}\quad {\text{and}}\quad M_{y}=\mathbf {E} _{y}\cdot \mathbf {M} =Fx\,.}$

ومع اختيار هذه المحاور الجديدة فإن العزم الموجب هو من يتسبب في دوران الجسم حول محوره في اتجاه عقارب الساعة.

حساب عزم الانحناء في الكمرة

في الكمرة الموضحة بالشكل، القوى الخارجية هي القوى المؤثرة في النقطة A (${\displaystyle -F\mathbf {e} _{y}}$) وردود الأفعال عند نقط الارتكاز O وB  (${\displaystyle \mathbf {R} _{O}=R_{O}\mathbf {e} _{y}}$و ${\displaystyle \mathbf {R} _{B}=R_{B}\mathbf {e} _{y}}$). يمكن حساب ردود الأفعال عن طريق اتزان القوى والعزوم حول النقطة A.

${\displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0\quad {\text{and}}\quad -\mathbf {r} _{A}\times \mathbf {R} _{O}+\mathbf {r} _{B}\times \mathbf {R} _{B}=\mathbf {0} \,.}$

إذا كان طول الكمرة هو L:

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=x_{A}\mathbf {e} _{x}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} _{B}=(L-x_{A})\mathbf {e} _{x}\,.}$

لإيجاد ردود الأفعال:

${\displaystyle R_{O}=\left(1-{\frac {x_{A}}{L}}\right)F\quad {\text{and}}\quad R_{B}={\frac {x_{A}}{L}}\,F\,.}$

مجموع عزوم القوى الخارجية حول النقطة X:

${\displaystyle \mathbf {M} =-(\mathbf {r} _{X}-\mathbf {r} _{A})\times \mathbf {F} -\mathbf {r} _{X}\times \mathbf {R} _{O}=\left[(x_{A}-x)\mathbf {e} _{x}\right]\times \left(-F\mathbf {e} _{y}\right)-\left(x\mathbf {e} _{x}\right)\times \left(R_{O}\mathbf {e} _{y}\right)\,.}$

عند حساب الضرب الاتجاهي نحصل:

${\displaystyle \mathbf {M} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x_{A}-x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|-\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|=F(x-x_{A})\,\mathbf {e} _{z}-R_{0}x\,\mathbf {e} _{z}=-{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

لهذا الموقف، العنصر الوحيد غير الصفري لعزم الانحناء هو:

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

لكي يكون مجموع العزوم عند x حول المحور ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {M} +\mathbf {M} _{xz}=\mathbf {0} \quad {\text{or}}\quad -{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)+M_{xz}=0\quad {\text{or}}\quad M_{xz}={\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,.}$

عند ${\displaystyle x=x_{A}}$,

نحصل على

 ${\displaystyle M_{xz}=Fx_{A}(L-x_{A})/L}$.

تم الافتراض ضمنيا أن عزم الانحناء يكون موجبا عندما تكون الكمرة مضغوطة من أعلى. يمكن إثبات ذلك إذا اعتبرنا أن الإجهاد المؤثر على الكمرة موزع خطيا وإيجاد عزم الانحناء الناتج. نفترض أن الكمرة معرضة لإجهاد من الأعلى مقدراه ${\displaystyle -\sigma _{0}}$  وافرض أن الكمرة معرضة لإجهاد من الأسفل مقدراه ${\displaystyle \sigma _{0}}$.

${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-y\sigma _{0}}$. تكون قيمة عزم الانحناء نتيجة هذه الإجهادات:

${\displaystyle M_{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,(-y\sigma _{0})\,dy\,dz\right]=\sigma _{0}\,I}$

حيث I هو عزم القصور الذاتي للمقطع. لذلك فإن عزم الانحناء يكون موجب عند تعرض الكمرة من الأعلى لانضغاط.

معظم المؤلفين يتبعون اتفاقيات أخرى حيث تكون محصلة الغجهادات ${\displaystyle M_{xz}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

في هذه الحالة فإن عزم الانحناء الموجب يشير إلى أن سطح الكمرة معرض لشد. يختلف تعريف (الأعلى) على حسب نظام الإحداثيات المستخدم. في ذا المثال فإن الأعلى يعنى الموقع الذي له أكبر إحداثي y.