ظل (حساب المثلثات)

دالة الظل هي دالة حقيقية:

• دورية، دورتها ${\displaystyle \pi }$.

${\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan(x)}$

• فردية، حيث: ${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}$
• تقبل خطوط مقاربة عمودية عند القيم ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ من أجل كل عدد صحيح k.

  ${\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{-}}\tan x=+\infty }$

  ${\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{+}}\tan x=-\infty }$

• مشتقها : ${\displaystyle \tan 'x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$
• مشتقها العكسي: ${\displaystyle \int \tan(x)dx=-\ln |\cos(x)|}$ وهو يكافئ الصيغة: ${\displaystyle \ln |\sec(x)|}$ حيث ${\displaystyle \sec x}$ هي دالة القاطع.
• بتطبيق صيغة أويلر:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta } \over 2i}{e^{i\theta }+e^{-i\theta } \over 2}}={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}}$

حيث ${\displaystyle i}$ هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي ${\displaystyle -1}$.

• دالتها العكسية على المجال ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ هي دالة قوس ظل الزاوية ويرمز لها بـ ${\displaystyle \arctan x}$ .
• مقلوب الدالة هو دالة ظل التمام ويرمز لها بـ ${\displaystyle \cot(x)}$.

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}}$

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة متسلسلة تايلور التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle B_{n}}$ هو عدد بيرنولي و ${\displaystyle U_{n}}$ هو عدد Up/down.

تحسب قيم الدالة بواسطة المتسلسلة، ولكن بدلاً من استخدام النشر المحدود بواسطة متسلسلة تايلور، التي تستخدم العديد من العمليات، يحبذ استعمال خوارزمية CORDIC.