صياغة رياضية لميكانيكا الكم

الخلاصة التالية للإطار الرياضي لنظرية الكم يمكن أن يعزى جزئيا لافتراضات postulates فون نيومان.

• كل نظام فيزيائي يترافق مع فضاء هلبرت عقدي complex (مركب) قابل للفصل separable ندعوه H مزود بجداء داخلي inner product ${\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle }$.

الفضاءات الجزئية أحادية البعد أو ما يدعى بالشعاع Ray ضمن فضاء هلبرت المذكور H تترافق مع حالات للنظام الفيزيائي (الجملة الفيزيائية). بصياغة أخرى، الحالات الفيزيائية تميز هنا بصفوف تكافؤ من المتجهات vectorsأحادية البعد في H، حيث كل متجهين يمثلان نفس الحالة إذا كان الفرق بينهما هو في عامل الطور phase factor فقط.

الانفصالية تشكل فرضية hypothesis ملائمة رياضيا، تتوافق مع التوجه الفيزيائي بأن عدد جيد من الملاحظات (القياسات) كاف لتحديد حالة الجملة أو النظام.

• فضاء هلبرت لنظام مركب composite system هو الجداء التينسوري لفضاء هلبرت Hilbert space tensor product لفضاءات الحالة المترافقة مع أنظمة المكونات component systems.

من أجل النظام اللانسبي المؤلف من عدد محدود من الجزيئات المتمايزة distinguishable، تكون أنظمة المكونات component systems عبارة عن أجزاء فردية individual particles.

• التناظرات الفيزيائية تعمل على فضاء هلبرت للحالات الكمومية بشكل وحدوي unitarily أو بشكل عكس-وحدوي antiunitarily (التناظر الفائق supersymmetry هنا موضوع آخر تماما)
• المقيسات observable الفيزيائية يمكن تمثيلها بمؤثرات ذاتية الانضمام self-adjoint operator معرفة بكثافة densely-defined على H'

القيمة المتوقعة (ضمن مفهوم نظرية الاحتمالات) لقيمة المقيس A لنظام يتمثل من خلال متجه وحدة

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in H}$ هو

${\displaystyle \langle \psi \mid A\mid \psi \rangle }$

عن طريق النظرية الطيفية spectral theory، نستطيع مزاوجة توزيع احتمالي مع القيم للمقيس A في أي حالة ψ.

يمكننا أيضا أن نظهر أن القيم الممكنة للمقيس A في أي حالة يجب أن تنتمي لطيف المقيس A. في حالة خاصة عندما يكون لA طيف متقطع discrete spectrum، تكون القيم الممكنة ل A في أي حالة هي القيم الخاصة eigenvalue.

بشكل أكثر تعميما، يمكن تمثيل الحالة بما يدعى مؤثر كثافة density operator، وهو عبارة عن صف أثر trace class، مؤثر ذاتي الانضمام self-adjoint operator لاسالب nonnegative :

${\displaystyle \rho }$ ينظم ليكون الأثر 1. القيمة المتوقعة ل A في الحالة ${\displaystyle \rho }$ هي

${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho )}$

إذا كان ${\displaystyle \rho _{\psi }}$ هو الفضاء الجزئي الاسقاطي العمودي أحادي البعد ل H المقيس ب :

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$, عندئذ يكون :

${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho _{\psi })=\left\langle \psi \mid A\mid \psi \right\rangle }$

مؤثرات الكثافة Density operators هي المؤثرات الموجودة في انغلاق محدب في مسقطات مستقلة (متعامدة) أحادية البعد one-dimensional orthogonal projectors. وبالعكس، تعتبر المسقطات المستقلة أحادية البعد نقطة extreme point لمجموعة من مؤثرات الكثافة. يدعو الفيزيائيون عادة المسقطات المستقلة أحدية البعد «حالات صرفة» pure states أما غيرها من مؤثرات الكثافة فتدعى حالات مختلطة mixed states.

• بوابة ميكانيكا الكم
• بوابة رياضيات
• بوابة الفيزياء