شبيكة مقلوبة

لنفرض شبيكة برافيزية ثنائية الأبعاد متمثلة بالمتجه:

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}}$ حيث أن ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }$

بأخذ دالة ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ بالنسبية إلى (${\displaystyle \mathbf {r} }$) وهو متجه من نقطة الأصل إلى أي نقطة في الشبيكة، إذا كانت الدالة ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ دورية ضمن الشبيكة فمن المفيد أن يتم التعبير عنها بشكل متسلسلة فورييه:

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=f\left(\mathbf {r} \right)}$

ولأنها تحقق شرط الدورية، فإذن ستظهر لها نفس القيمة مع كل إمتداد للمتجة (${\displaystyle \mathbf {r} }$) بمقدار متجه شبيكة حقيقية (${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$)، يمكن التعبير عن هذا الشرط بالصيغة التالية:

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} )}$

بإدخال هذا الشرط إلى تحويل فورييه نجد:

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}}=e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}}$

هذه المعادلة صحيحة في حالة كون (${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$) وهذا يحصل فقط عند الشرط التالي:

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi \delta _{mn}N}$ حيث أن ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$

صورة تظهر ظل لشبيكة مقلوبة تتكون من خماسيات ذرات الكربون تدور حول أحد محورها التناظري.

يسمى المعامل (${\displaystyle \delta _{mn}}$) كرونكر دلتا، هذا الشرط يحدد قيم (${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$) بقيم تحقق العلاقة اعلاه فقط. من منظور الرياضيات الشبيكة المقلوبة تتمثل في كافة قيم متجه الشبيكة المقلوبة (${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$) التي تحقق الشرط أعلاه لكافة قيم متجهات الشبيكة الحقيقية (${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$)، يمكن أيضاً كتابة أي دالة تحقق شرط الدورية للخلية على شكل متسلسلة فورييه بقيم زخم زاوية تؤخذ من الشبيكة المقلوبة.

الشبيكة المقلوبة في حد ذاتها تمثل شبيكة برافيزية، كما أن مقلوب الشبيكة المقلوبة يعطي الشبيكة الحقيقة، وهذا يظهر صفة إزدواجية بونترياغين ^{[الإنجليزية]} لمتجه الفضاء لكل منهما.

إيجاد الشبيكة المقلوبة لشبيكة حقيقية ثنائية الأبعاد لا نهائية متجهاتها الأساسية ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$ ممكن عن طريق الحصول على المتجات الأساسية المقلوبة وذلك بتطبيق علاقة التحويل التالية:[1]

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

حيث أن:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}\\\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

هنا (${\displaystyle \mathbf {R} }$) يمثل مصفوفة دوران بزاوية °90.

للشبيكة ثلاثية الأبعاد متجهاتها الأساسية ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$، يمكن تحديد متجهات الشبيكة المقلوبة الأساسية لها من خلال علاقات التحويل التالية:

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$

بالتعويض عن الضرب العددي الثلاثي بحجم الشبيكة ${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}$:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$ يمكن التعبير عن التحويلات أعلاه بدلالة مصفوفة قابلة للعكس:

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}}$

تسمح هذه الطريقة بتطبيق التحويلات وتعميمها على أي عدد من الأبعاد، يكون الضرب الإتجاهي شائع في علم البلورات.

التعريف أعلاه يسمى تعريف «الفيزياء»، وذلك لأن العامل (${\displaystyle 2\pi }$) ظهر طبيعياً كنتيجة لدراسة التراكيب الدورية، يوجد تعريف آخر يسمى تعريف «علم البلورات» يأتي من استخدام المساواة ${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$ في التحليل مما يغير صيغة التحويل إلى الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$ وهكذا للمتجهات الأخرى...

تظهر ميزة تعريف «علم البلورات» في كونها تُبين ببساطة أن المتجة ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ هو مقلوب المتجه ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$، بإتجاه ${\displaystyle (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$ مع إسقاط المعامل (${\displaystyle 2\pi }$) في العلاقة، هذا يبسط من المعالجات الرياضية، ويعبر عن أبعاد الشبيكة المقلوبة بوحدات التردد الفراغي، مع أن استعمال كلا التعرفيين هو مسألة إختيارية لكن بشرط عدم خلطهما مع بعضهما.[2]

كل نقطة في الشبيكة المقلوبة بإحداثيات ${\displaystyle (hkl)}$ تقابل مجموعة المستويات ${\displaystyle (hkl)}$ في الشبيكة الحقيقية، وإتجاه المتجهات المقلوبة يتوافق مع الإتجاه العمودي لمستويات الفضاء الحقيقي، وقيمة المتجهات العددية تسمى بمقلوب الطول وتساوي مقلوب المسافة الواصلة بين مستويات الفضاء الحقيقي.

أحد الطرق للوصول إلى الشبيكة المقلوبة لتجمع عشوائي من الذرات تأتي من فكرة إستطارة الموجات ضمن حد فرانهوفر، كما في مجموع نمط هيوغن للسعات المتشتته من كافة النقاط (في هذه الحالة ستكون لكافة الذرات المنفصلة)،[2] يتم التعبير عن هذا المجموع بدلالة السعة المعقدة (${\displaystyle F}$) الموجودة في المعادلة أسفل، وذلك لأنها تمثل تحويل فورييه للإستطارة الفعّالة في الفضاء الحقيقي:

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}}$

هنا (${\textstyle {\vec {g}}={\frac {\vec {q}}{2\pi }}}$) يمثل متجه الإستطارة ويكافئ (${\displaystyle {\vec {q}}}$) بوحدات علم البلورات، (${\displaystyle N}$) عدد الذرات، و${\displaystyle f_{j}\left[{\vec {g}}\right]}$ يمثل معامل التشتت الذري أو معامل الهيئة الذرية ^{[الإنجليزية]} للذرة (${\displaystyle j}$) ولمتجه الإستطارة (${\displaystyle {\vec {g}}}$)، بينما يمثل (${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$) متجه الموقع لتلك الذرة، مع ملاحظة أن حدود متسلسلة فورييه تتأثر بإختيار نقاطة الأصل للإحداثيات.

كحالة خاصة لبلورة دورية لا نهائية، تكون سعة الموجات المستطارة ${\displaystyle F=MF_{hkl}}$ لمضاعفات من وحدات الخلية (${\displaystyle M}$)، في حالة الأعداد الصحيحة من ${\displaystyle (hkl)}$ لا يمكن أن يساوي هذا المقدار صفراً، حيث أن:

${\displaystyle F_{hkl}=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{hkl}\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+lw_{j}\right)}}$

في حالة البلورة النهائية الطول أي أن لها (${\displaystyle j=1\rightarrow {m}}$) من الذرات داخل وحدة الخلية يتم التعبير عن معاملات الشبيكة الكسرية على التوالي ${\displaystyle \{u_{j},v_{j},w_{j}\}}$، لبيان تأثيرات الحجم المحدود للبلورة لذا يجب استعمال طريقة تدوير الشكل لكل نقطة أو استعمال المعادلة أعلاه لشبيكة محدودة.

سواء أكانت مصفوفة الذرات محدودة أو لا نهائية، ولأن ${\displaystyle F}$ عدد معقد يمكن أيضاً استخدام تعريف «كثافة الشبيكة المقلوبة» (${\displaystyle I[{\vec {g}}]}$)، والتي ترتبط بديهياً بسعة الشبيكة (${\displaystyle I=FF^{*}}$) بالعلاقة التالية حيث أن (${\displaystyle F^{*}}$) تمثل المرافق المعقد لـ (${\displaystyle F}$)، نظراً إلى أن تحويل فورييه قابل للإنعكاس، فتصبح كثافة الشبيكة المقلوبة:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{jk}}}$ ، هنا (${\displaystyle {\vec {r}}_{jk}}$) يمثل متجه المسافة بين الذرتين ${\displaystyle j}$ و${\displaystyle k}$.

يمكن استخدام هذا التحليل أيضاً للتنبؤ بتأثير شكل البلورات النانوية، والتغيرات الطفيفة في توجيه حزمة الأشعة المحادة على قمم الحيود حتى لو كان الفرق يعادل سمك ذرة واحدة.

الفضاء المقلوب (يعرف أيضاً بفضاء متجه الموجة، أو فضاء-K)، هو الفضاء الناتج من إدخال تحويلات فورييه على التردد الحيزي (كما في إدخال تحويلات فورييه إلى مجال التردد للحصول على دالة معتمدة على الزمن)، تقلب تحويلات فورييه الفضاء الحقيقي إلى فضاء مقلوب والعكس بالعكس، يلعب الفضاء المقلوب دوراً مهما في دراسة ميكانيكا الموجات: على سبيل المثال في الموجات المستوية حيث يضاف حد التذبذب ${\displaystyle {\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}}}$ إلى المعادلة والذي يكتب بدلالة متجه الموجة ${\displaystyle k}$ والتردد الزاوي ${\displaystyle \omega }$، يمكن أن يكون هذا الحد دالة لكل من متجه الموجة ${\displaystyle k}$ والإزاحة ${\displaystyle x}$ (والجزء الطيفي منه دالة لكل من التردد ${\displaystyle \omega }$ والزمن ${\displaystyle t}$)، ولأن الذبذبات دورية كل (${\displaystyle kx=2\pi }$) لهذا ولأي طور فإن (${\displaystyle k}$) و (${\displaystyle x}$) هما مقلوبا بعضهما وفق ما يلي:

${\textstyle k={\frac {2\pi }{x}}}$ و${\textstyle x={\frac {2\pi }{k}}}$.

• علم البلورات
• دراسة البلورات بالأشعة السينية
• نظام بلوري
• منطقة بريليون
• خلية ويغنر-سيتز
• علم المواد

• بوابة الفيزياء
• بوابة الكيمياء
• بوابة رياضيات
• بوابة علم الأحجار الكريمة والمجوهرات
• بوابة علم المواد