سطح غاوسي

يستخدم سطح كروي غاوسي عندما يبحث عن الحقل الكهربائي أو تدفق كهربائي المنتج من أياً من الآتي:[3]

1. شحنة نقطية
2. شحنة على شكل قشرة كروية موزعة بشكل متجانس
3. أي توزيع آخر للشحنة ولكن بتناظر كروي

يختار السطح الغاوسي الكروي بحيث تكون متركز حول توزيع الشحنة.

r>R السطح الغاوس الكروي أكبر من القشرة الكروية

افرض أن قشرة كروية مشحونة (S) سمكها لا يذكر، ولديها شحنة متجانسة التوزيع (Q) ونصف قطر القشرة الكروية (R). هنا يمكننا استخدام معادلة غاوس لمعرفة مقدار محصلة الحقل الكهربائي (E) أو التدفق الكهربائي (ϕ). وذلك بتخيل سطح غاوسي كروي على مسافة (r) (نصف قطره) من وسط القشرة الكروية المشحونة.

r<R السطح الغاوس الكروي أصغر من القشرة الكروية

إذا كان r>R أي نصف قطر السطح الغاوسي (r) أكبر من نصف قطر القشرة الكروية (R)، فإن مقدار الحقل المغناطيسي متساوي على جميع النقاط داخل السطح ومتجه للخارج. التدفق الكهربائي يساوي مقدار الحقل المغناطيسي مضروب في مساحة السطح الكروي.

وإستناجأً من قانون غاوس الذي يمكن أن يعرف بأنه الشحنة الكلية Q الموجودة في مساحة مقسمة على سماحية الفراغ ε0. فبذلك يمكن صياغته رياضيا كما يلي:

${\displaystyle \phi ={Q \over \varepsilon _{0}}}$

لحساب التدفق الكهربائي ${\displaystyle \phi =EA=E4\pi r^{2}={Q \over \varepsilon _{0}}}$

لحساب مقدار الحقل الكهربائي ${\displaystyle E={Q \over 4\pi \varepsilon r^{2}}}$

إذا كان R>r أي نصف قطر السطح الغاوسي (r) أصغر من نصف قطر القشرة الكروية (R)، أي ان نتخيل السطح الغاوسي الكروي يصبح داخل القشرة الكروية أي ان السطح الغاوسي يضم أقل من قيمة الشحنة الكلية Q.

فلحساب التدفق الكهربائي و مقدار الحقل الإلكتروني

نرى إن ${\displaystyle {Q \over Q'}={{4 \over 3}\pi r^{3} \over {4 \over 3}\pi r^{3}}}$

فإن ${\displaystyle Q'=Q{r^{3} \over R^{3}}}$

وحسب الإستنتاج السابق لقانون غاوس

فإن لحساب التدفق الكهربائي ${\displaystyle \phi =E4\pi r^{2}={Qr^{3} \over \varepsilon _{0}R^{3}}}$

لحساب مقدار الحقل الكهربائي ${\displaystyle E={Qr \over 4\pi \varepsilon R^{3}}}$

يستخدم سطح لإسطواني غاوسي عندما يبحث عن الحقل الكهربائي أو تدفق كهربائي المنتج من أياً من الآتي:[3]

• خط طويل لامتناهي من الشحنة المنتظمة
• مستوى لامنتاهي من الشحنة المنتظمة

افترض ان نقطة ما تسمى (P) على مسافة (r) من شحنة على شكل خط لانهائي لها كثافة الشحنة (λ). تخيل سطح مغلق على شكل إسطوانة حول الخط الانهائي من الشحنة.

سطح غاوسي مغلق على شكل إسطوانة يحتوي خط لانهائي من الشحنة بداخله (مركزه).

إذا كانت (h) هي طول السطح الإسطواني الغاوسي فإن الشحنة (q) داخل الإسطوانة الغاوسية تساوي ${\displaystyle q=h\lambda }$

, هناك ثلاثة أسطح وهي a و b و c كما هو موضوح في الصورة. ,تفاضل المتجه المساحي هو dA على كلٌ من سطح a و b و c.

التدفق الكهربائي يتكون من ثلاثة مساهمات

${\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle A\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\int \!\!\!\!\int _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\int \!\!\!\!\int _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

الأسطح a و b متعامدان مع E و dA، ولكن السطح c متوازي مع dA و E كما هو موضح بالصورة.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!\!\!\!\int _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\int \!\!\!\!\int _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\int \!\!\!\!\int _{c}dA\\\end{aligned}}}$

فإن مساحة سطح الإسطوانة تساوي

${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{c}dA=2\pi rh}$

فإن

${\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}$

وإستنتجنا سابقاً

${\displaystyle q=h\lambda }$

وحسب قانون غاوس

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

وإذا استبدلنا ΦE فإن

${\displaystyle E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$