دلالة موضعية

يلاحظ لينارت بيرغرين (J. Lennart Berggren) أن الكسور العشرية الموضعية استخدمت لأول مرة من قبل عالم الرياضيات العربي أبو الحسن الإقليدسي في القرن العاشر.[6] استخدم عالم الرياضيات اليهودي إيمانويل بونفيس الكسور العشرية في حوالي عام 1350، لكنه لم يطور أي تدوين لتمثيلهم.[7] ادعى عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي أنه اكتشف الكسور العشرية بنفسه في القرن الخامس عشر.[6] قدم الخوارزمي الكسور إلى البلدان الإسلامية في أوائل القرن التاسع.[8] هذا الشكل من الكسر بصورة البسط في الأعلى والمقام في الأسفل بدون خط أفقي كان يستخدمه أبو الحسن الإقليدسي أيضا في القرن العاشر من القرن الماضي، وواستخدمه جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر في مؤلفه «مفتاح الحساب».[8][9]

يُعدُ سيمون ستيفين في القرن السادس عشر رائد العلامة العشرية الأوروبية الحديثة.[10]

في نظم العد الرياضية، يكون الأساس هو عادة عدد الأرقام الفريدة بما في ذلك الصفر، التي يستخدمها نظام الأرقام الموضعية لتمثيل الأعداد. على سبيل المثال، النظام العشري يكون أساسه هو 10، لأنه يستخدم 10 أرقام 10 من 0 إلى 9. فبعد الرقم "9" لن يكون الرقم التالي رمزًا مختلفًا، بل هو "1" متبوعًا بـ "0" أي "10" ويليه "11" وهكذا. وفي النظام الثنائي، يكون الأساس هو 2، لأنه بعد الرقم "1" نستخدم الرقم "10" ثم "11" ويليه "100" وهكذا.

عادة ما يكون أعلى رمز لنظام الأرقام الموضعية هو القيمة الأقل من قيمة أساس هذا النظام الرقمي. تختلف أنظمة الأرقام الموضعية القياسية عن بعضها البعض فقط في «الأساس» الذي تستخدمه.

«الأساس» هو عدد صحيح أكبر من 1 (أو أقل من -1). ونادرا ما يستخدم "أساس سالب لأنه في النظام ذو أساس سالب، يمكن تمثيل الأرقام بالعديد من التمثيلات المختلفة.

(في بعض أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية، فإن تعريف الأساس أو الأرقام المسموح بها يختلف عن ما سبق.))

في الترميز الموضعي للأساس 10 (النظام العشري)، هناك 10 أرقام عشرية والرقم

${\displaystyle 2506=(2\times 10^{3})+(5\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(6\times 10^{0})}$.

في نظام الأساس 16 (النظام السداسي عشري)، هناك 16 رقمًا سداسيًا عشريًا (0–9 و A – F) والرقم

${\displaystyle 171\mathrm {B} =(1\times 16^{3})+(7\times 16^{2})+(1\times 16^{1})+(\mathrm {B} \times 16^{0})}$ (حيث B هي رمز يمثل الرقم 11)

بشكل عام، في نظام الأساس b ، يكون هناك b من الأرقام والعدد

${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$ (لاحظ أن ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ تمثل أرقام)

عند وصف «الأساس» في الترقيم الرياضي، يتم استخدام الحرف b عمومًا كرمز (اختصارا لكلمة base)، لذلك، بالنسبة للنظام الثنائي، يكون الأساس b=2. هناك طريقة أخرى شائعة للتعبير عن الأساس وذلك بكتابته على هيئة علامة عشرية (سفلية) بعد الرقم الذي يتم تمثيله (يتم استخدام هذا الترميز في هذه المقالة). فمثلا 1111011 ₂ يعني أن الرقم 1111011 هو رقم أساس 2، وهو يساوي 123 ₁₀ (وفق النظام العشري)، وكذلك يساوي 173 ₈ (بنظام العد الثماني).

يمكن أيضًا الإشارة إلى الأساس b بعبارة «أساس-b». إذن الأرقام الثنائية هي «أساس-2»؛ الأرقام الثمانية هي «أساس-8»؛ الأرقام العشرية هي «أساس-10» وهكذا.

عند استخدام أساس b نستخدم مجموعة من الأرقام {0، 1... b-2، b-1} وتسمى مجموعة الأرقام القياسية. وبالتالي تحتوي الأرقام الثنائية على أرقام {0، 1} ؛ في حين تحتوي الأرقام العشرية على أرقام {0, 1, 2, ..., 8, 9}; وهكذا. ولذلك فالأرقام التالية بها أخطاء: لأنها تستخدم أرقاما أكبر من الأساس 52 ₂ ، 2 ₂ ، 1A ₉ .

تعمل أنظمة الأرقام الموضعية باستخدام الأس لرقم الأساس. فقيمة الرقم هي الرقم المضروب في قيمة مكانه. وقيمة المكان هي رقم الأساس الذي يتم رفعه إلى الأس n ، حيث n هو عدد الأرقام الأخرى بين رقم معين ونقطة الجذر. إذا كان رقم معين على الجانب الأيسر من نقطة الجذر (أي أن قيمته عبارة عن عدد صحيح)، تكون n موجبة أو صفرية؛ إذا كان الرقم على الجانب الأيمن من نقطة الجذر (أي أن قيمته عبارة عن كسور)، يكون n سالبا.

وكمثال على الاستخدام، فإن الرقم 465 يتم تمثيله في الأساس b (والتي يجب أن تكون على الأقل في الأساس 7 لأن الرقم الأعلى فيها هو 6) يساوي:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

إذا كان الرقم 465 في الأساس 10، فسوف يساوي:

${\displaystyle 4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465}$

(465₁₀ = 465₁₀)

إذا كان الرقم موجودًا في الأساس 7، فسوف يساوي:

${\displaystyle 4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243}$

(465₇ = 243₁₀)

الرقم 10_b دائما يساوي b لأي أساس b، وذلك لأن 10_b = 1×b¹ + 0×b⁰. على سبيل المثال:, 10₂ = 2; 10₃ = 3; 10₁₆ = 16₁₀. بينما إذا كان الرقم من خانة واحدة فقيمته هي نفسها لا تتغير.

يمكن إثبات هذا المفهوم باستخدام رسم بياني. كائن واحد يمثل وحدة واحدة. عندما يكون عدد الكائنات مساويًا أو أكبر من الأساس b ، يتم إنشاء مجموعة من الكائنات بعدد b من الكائنات. عندما يتجاوز عدد هذه المجموعات b، ثم يتم إنشاء مجموعة من هذه المجموعات من الكائنات مع b من المجموعات وb من الكائنات؛ وهكذا. وبالتالي فإن العدد نفسه في أنظمة ذات أساسات مختلفة سيكون له قيم مختلفة:

العدد 241 في نظام الأساس 5:
به مجموعتين من 52 (25) و 4 مجموعات من 5 ومجموعة واحدة من 1
ooooo ooooo
ooooo ooooo ooooo ooooo
ooooo ooooo + + o
ooooo ooooo ooooo ooooo
ooooo ooooo

العدد 241 في نظام الأساس 8:
به مجموعتين من 82 (64) و 4 مجموعات من 8 ومجموعة واحدة من 1
oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo +  + o
oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo

يمكن زيادة الترميز من خلال السماح بعلامة السالب. وهذا يسمح بتمثيل الأرقام السالبة. بالنسبة لأساس معين، فإن كل تمثيل يتوافق مع رقم حقيقي واحد بالضبط، وكل رقم حقيقي له تمثيل واحد على الأقل. تمثل الأرقام الكسرية باستخدام البسط والمقام وبينهما خط أفقي، أو ربما بدورة أرقام متكررة بشكل لا نهائي. فمثلا الرقم (1/3) يمكن تمثيله على الصورة (0.3333333).

الرقم (digit) هو ما يستخدم كموضع في تدوين قيمة المكان، والعدد (numeral) هو واحد أو أكثر من الأرقام. الأرقام الأكثر شيوعًا اليوم هي الأرقام العشرية "0" و "1" و "2" و "3" و "4" و "5" و "6" و "7" و "8" و "9".

العدد غير الصفري الذي به أكثر من رقم واحد يُمثل عددا مختلفا وفق نظم العد ذات الأساسات المختلفة، ولكن بصفة عامة، فإن الأرقام تعني نفس الشيء.[11] فالعدد 23 ₈ في النظام الثماني يحتوي على رقمين، "2" و "3"، ويساوي 19 في النظام العشري، بينما العدد 23 ₅ يساوي 13 في النظام العشري. وهنا يتضح أهمية كتابة أساس النظام. فلو تخيلنا العدد "23" غير معروف الأساس، فمن المحتمل أن يكون "23" للأساس-4 وبالتالي يساوي 11، أو للأساس-60 وبالتالي يساوي 123. أي أن الرقم "23" يمكن قراءته على أنه "2" من الأساس و "3".

يمكن توسيع استخدام الموضع إلى الأس السالب للأساس b . في هذه الحالة، تُستخدم النقطة "radix"، ويُرمز لها "."، كفاصل للمواقع ذات الأس الموجب عن تلك ذات الأس السالب.

تستخدم الأعداد غير الصحيحة أماكن على يمين نقطة الجذر . لكل موضع خلف هذه النقطة (وبالتالي بعد رقم الآحاد)، يتناقص الأس n للقيمة b ⁿ بمقدار 1 . على سبيل المثال، العدد 2.35 يساوي:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

إذا كان الأساس وكافة الأرقام أرقاما «غير سالبة» فلا يمكن التعبير عن الأعداد السالبة. وللتغلب على هذا، نستخدم علامة ناقص، هنا (-).