قوس الظل

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:${\displaystyle (\arctan x)'={d \over dx}\arctan x}$

نضع ${\displaystyle \theta =\arctan x}$:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta (1+\tan ^{2}\theta )}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

إثبات آخر

يمكن استنتاج مشتقة قوس الظل كالتالي:

1. معلوم أن tan(arctan(x))=x بتفاضل الطرفين:

${\displaystyle (\tan(\arctan(x))'=x'}$

نحصل على :

${\displaystyle {(\tan(\arctan(x))^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1}$

بتبسيط tan(arctan(x)) نحصل على:

${\displaystyle {(x^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1}$

و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة قوس الظل :

${\displaystyle {d \over dx}{\arctan(x)}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left(i\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{i}}\operatorname {artanh} (ix)={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+ix}{1-ix}}\right)={\frac {\ln(1+ix)-\ln(1-ix)}{2i}}}$

حيث ${\displaystyle \operatorname {artanh} x}$ هي دالة الظل الزائدية العكسية.