دالة الجيب الزائدية

• sinh هي دالة متصلة (مستمرة)، كما أنها دالة تامة الشكل؛ يعني أنها قابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية من المشتقات، أما مشتقتها الأولى فهي دالة جيب التمام الزائدي التي يُعبر عنها بـ cosh.
• sinh هي دالة زوجية.
• المشتق العكسي لـ sinh هو cosh + C، حيث أن C عدد ثابت لا متغير.
• عند القيام بعمليات تطبيقية لـ sinh على المجال ℝ فإن الدالة تكون رتيبة، بينما تكون مقعرة على المجال ]-∞,0[ في حين تكون محدبة على ]0,+∞[.

من خلال تعاريف الدالتين (جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي)، يًمكن استنتاج المتساويات التالية:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh(z)+\sinh(z)}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh(z)-\sinh(z)}$

هذه المتساويات هي مماثلة لصيغة أويلر في علم المثلثات الكلاسيكية.

إذا كانت الإحداثيات ((cos(t), sin(t)) تُحدد دائرة، فإن نفس الإحداثيات ((cos(t)، sin(t)) تُحددان الجزء الموجب من القطع الزائد، إذن لكل ${\displaystyle t>0}$ فإن:

${\displaystyle \cosh ^{2}\left(t\right)-\sinh ^{2}\left(t\right)=1}$.

من ناحية أخرى، لكل ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)}$ ;

${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$ ;

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$ ;

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}}$.

استخدام الصيغ المثلثية مثل ${\displaystyle \tan(2t)={\frac {2\tan t}{1-\tan ^{2}t}}}$ يُمَكِّنُ من الحصول على علاقات أكثر تفصيلا، وذلك على غرار:

${\displaystyle \sinh(x)={\frac {-1}{\tan \left(2\arctan \left(\mathrm {e} ^{x}\right)\right)}}}$ ;

في متسلسلة تايلور، يُصبح تعبير دالة Sinh على الشكل التالي:

${\displaystyle \sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\dots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$.