خوارزمية أقليدس

تنص متطابقة بيزو على أن القاسم المشترك الأكبر g لعددين a و b يمكن أن يمثل مجموعا خطيا للعددين a و b؛ أي أنه يوجد عددان، s و t حيث يتوفر ما يلي: ${\displaystyle g=sa+tb}$

یمكن تمثیل القاسم المشترك الأكبر للعددین عن طریق دمج خطي مع عددین آخرین،

كیف یمكن أیجاد قیمتي n و m وذلك عن طریق خوارزمیة اقلیدس الممتدة وهناك ثلاثة طرق لمعرفة هذه القیم (الطرق هي مشابه لبعض، لكن یمكن القول أنها مختصره من الأخریات). الطريقة الأولى: وهي يمكن ان نطلق عليها التراجع وفي هذه الطريقة نقوم بالحل عن طريق خوارزمية اقليدس وبعدها تقول بالتراجع الخلفي لايجاد قيمتي m،n كما في المثال التالي: مثال: قم بتمثيل العددين 26 و 21 بطريقة اقليدس الممتدة: فنبدأ بالحل كما هو الحال في طريقة اقليدس: 26 = 1* 21 + 5 و 21 = 4 * 5 + 1 و 5 = 5 * 1 + 0 وتتوقف عند الصفر. الآن المعادلة التي قبل المعادلة التي باقيها صفر أي المعادلة الثانية نقوم بكتابتها بالشكل التالي:

${\displaystyle 1=21-4*5}$

أیضا المعادلة الأولى بنفس الشكل:

${\displaystyle 5=26-1*21}$

في المعادلتين السابقتين

1 = 21 – 4 * (26 – 1 * 21)

ومن غیر أجراء عملیة حسابیة، فقط نفك القوس لینتج: 1 = 21 -4*26 +4*21 1=21(1+4)-4*26 حيث 21 عامل مشترك لیكون لدینا الناتج النهائي: 4*21 +21

1 = 5*21 + (-4)*26 نتاكد من النتيجة 5*21+ -4*26 والناتج يساوي واحد إذاً المعادلة صحيحة

إذاً قيمة m هي 5 وقيمة n هي -4.

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=q_{0}b+r_{0}\\b&=q_{1}r_{0}+r_{1}\\&\,\,\,\vdots \\r_{N-2}&=q_{N}r_{N-1}+0\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\r_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\end{pmatrix}}=\cdots =\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}\,.}$

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}=\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdots {\begin{pmatrix}q_{N}&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}\,.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} ^{-1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=(-1)^{N+1}{\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\-m_{21}&m_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.}$

g = (−1)^N+1 ( m₂₂ a − m₁₂ b),

يمكن لخوارزمية أقليدس أيضا أن تستعمل من أجل حلحلة العديد من المعادلات الديوفانتية الخطية. تظهر واحدة من هده المعادلات في مبرهنة الباقي الصيني.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv x{\bmod {m}}_{1}\\x_{2}&\equiv x{\bmod {m}}_{2}\\&\vdots \\x_{N}&\equiv x{\bmod {m}}_{N}\,.\end{aligned}}}$

مبرهنة الباقي الصيني

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv x{\pmod {m_{1}}}\\x_{2}&\equiv x{\pmod {m_{2}}}\\&\,\,\,\vdots \\x_{N}&\equiv x{\pmod {m_{N}}}\,.\end{aligned}}}$

شجرة ستيرن-بروكوت، و متتاليات ستيرن-بروكوت من الرتبة i حيث i = 1، 2، 3، 4.

تُستعمل خوارزمية أقليدس من أجل ترتيب جميع الأعداد الجذرية الموجبة في شجرة ثنائية البحث غير منتهية، تسمى شجرة ستيرن-بروكوت.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&=q_{0}+{\frac {r_{0}}{b}}\\{\frac {b}{r_{0}}}&=q_{1}+{\frac {r_{1}}{r_{0}}}\\{\frac {r_{0}}{r_{1}}}&=q_{2}+{\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\&\,\,\,\vdots \\{\frac {r_{k-2}}{r_{k-1}}}&=q_{k}+{\frac {r_{k}}{r_{k-1}}}\\&\,\,\,\vdots \\{\frac {r_{N-2}}{r_{N-1}}}&=q_{N}\,.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {r_{1}}{r_{0}}}}}\,.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {r_{2}}{r_{1}}}}}}}\,.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{q_{N}}}}}}}}}=[q_{0};q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}]\,.}$

${\displaystyle {\frac {1071}{462}}=2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{7}}}}=[2;3,7]}$

${\displaystyle r_{k-2}(x)=q_{k}(x)r_{k-1}(x)+r_{k}(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x)&=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-3x+14=(x^{2}-5x+7)(x^{2}+x+2)\qquad {\text{and}}\\b(x)&=x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+17x+6=(x^{2}+7x+3)(x^{2}+x+2).\end{aligned}}}$

توزيع الأعداد الطبيعية الغاوسية u + vi في المستوى العقدي، من معايير u² + v² أصغر من 500

الأعداد الغاوسية الصحيحة هن أعداد مركبة α = u + vi حيث u و v أعداد صحيحة، وi هو الجذر التربيعي لناقص واحد. بتعريف خوارزمية مماثلة لخوارزمية أقليدس، يتبين أن الأعداد الغاوسية تقبل هي الأخرى تفكيكا وحيدا لجداء أعداد غاوسية أخرى، وذلك باستعمال الحجة نفسها التي استعمل أعلاه. هذا التفكيك الوحيد يساعد في العديد من المجالات، منها على سبيل المثال، ايجاد جميع ثلاثيات فيثاغورس، ومنها أيضا البرهان على مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين. مساهمة خوارزمية أقليدس في هذه التطبيقات غير أساسية حيث يمكن أن يُبرهن عليها بطرق أخرى.