حركة مقذوف

إذا افترضنا أن المقذوف قد أطلق بسرعة بدائية ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$. والتي يمكن التعبير عنها بمجموع مركبتي السرعة الرأسية والأفقية كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {i} +v_{0y}\mathbf {j} }$.

والمركبتان ${\displaystyle v_{0x}}$ و${\displaystyle v_{0y}}$ يمكن حسابهما إذا ما كانت زاوية القذف ${\displaystyle \theta }$ معلومة:

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos \theta }$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin \theta }$.

تكون الحركة الأفقية مستقلة عن الحركة الرأسية، فلا تؤثر أي منهما على الأخرى. يعرف ذلك بمبدأ الحركة المركبة والتي عرّفها جاليليو عام 1638.[1]

الإزاحة

إزاحة وإحداثيات لقذف بشكل قطع مكافئ

في أي لحظة ${\displaystyle t}$، تساوي الإزاحة الأفقية والرأسية للمقذوف:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

فتكون محصلة الإزاحة كالتالي:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}\ }}}$.

المقالة الرئيسة: مسار قذيفة

باعتبار المعادلة:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

إذا عوضنا المتغير t في إحدى المعادلتين في المعادلة الأخرى سنحصل على المعادلة التالية:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}}$.

وحيث أن ${\displaystyle g}$ و${\displaystyle \theta }$ و${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ثوابت، تصبح المعادلة كالتالي: ${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$ حيث ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$ ثابتان.

المعادلة السابقة هي معادلات قطع مكافئ، لذا فالمسار الذي يتحرك فيه المقذوف هو قطع مكافئ بمحور رأسي.

إذا علم كلًا من اتجاه الإطلاق (x,y) وزاوية الإطلاق (θ أو α)، يمكن حساب السرعة الابتدائية بحساب ${\displaystyle v_{0}}$ في معادلة القطع المكافئة المذكورة أعلاه:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

الزمن الكلي ${\displaystyle t}$ الذي يقضيه المقذوف في الهواء يسمى بزمن الرحلة.

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

وبعد انتهاء الرحلة، يعود المقذوف للمحور الأفقي (محور-x)، أي تكون y=0.

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

لاحظ أننا قد أهملنا مقاومة الهواء على المقذوف.

أقصى ارتفاع للمقذوف

يعرف أقصى ارتفاع يصل إليه المقذوف بقمة حركة المقذوف. ويظل المقذوف في الارتفاع منذ إطلاقه حتى يصل إلى اللحظة التي تكون فيها السرعة الرأسية تساوي صفر. (${\displaystyle v_{y}=0}$)، وعليها:

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

أما الزمن اللازم حتى يصل المقذوف إلى أقصى ارتفاع (h) فيساوي:

${\displaystyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$.

وتكون الإزاحة الرأسية عند أقصى ارتفاع للمقذوف:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}}$

العلاقة بين المدى ${\displaystyle R}$ في المستوى الأفقي وأقصى ارتفاع ${\displaystyle h}$ يصل له المقذوف عند زمن قدره ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$ هي:

${\displaystyle h={\frac {R\tan \theta }{4}}}$

أقصى مدى للمقذوف

من الضروري ملاحظة أن مدى المقذوف وأقصى ارتفاع له لا يعتمدان على كتلته، وعليه فإن المدى وأقصى ارتفاع للمقذوفات ثابتان إذا ما تم إطلاق المقذوفات مختلفة الكتل بنفس السرعة والاتجاه. والمدى الأفقي d للمقذوف هو أقصى إزاحة أفقية له منذ انطلاقه إلى أن يعود إلى ارتفاعه الأصلي (y = 0).

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$

الزمن اللازم للوصول إلى الأرض:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

معادلة الإزاحة الأفقية مع استخدام بقيمة الزمن الكلي للرحلة لإعطاء أقصى إزاحة أفقية:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$

فيكون [3]

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )}$

لاحظ أن قيمة ${\displaystyle d}$ تكون قصوى إذا ما كانت:

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$

وتعني أن:

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$

أو

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$

وفقًا لنظرية الشغل والطاقة، تكون المركبة الرأسية للسرعة:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

• Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.,Budapest, Tankönyvkiadó, 1986. ISBN 963 17 8772 9 (بالمجرية)
• Ifj. Zátonyi Sándor: Fizika 9.,Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2009. ISBN 978-963-19-6082-2 (بالمجرية)
• Hack Frigyes: Négyjegyű függvénytáblázatok, összefüggések és adatok, Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004. ISBN 963-19-3506-X (بالمجرية)

• بوابة الفيزياء