حدسية ميرتنز

في نظرية الأعداد، تعرف دالة ميرتنز كما يلي :

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

حيث μ(k) هي دالة موبيوس.

حدسية ميرتنز تنص على ما يلي

${\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}.\,}$

انظر إلى توماس يوهانز ستيلشيس.

شك عالما الرياضيات اللذان برهنا خطأ حدسية ميرتنز أنه لا يوجد أي مثال مضاد ينتهك هاته الحدسية، تقل قيمته عن ×10²⁰ أو حتى ×10³⁰. أثبت فيما بعد، أن أول مثال مضاد يكبر ذلك بكثير.

${\displaystyle \liminf m(n)<-1.009\quad }$ و ${\displaystyle \quad \limsup m(n)>1.06.}$

برهان خطإ حدسية ميرتنز أغلق بصفة نهائية طريقا محتملا نحو برهان فرضية ريمان.

فرضية ريمان تنتج عن المتراجحة :${\displaystyle \left|M(n)\right|<=c{\sqrt {n}}.\,}$ أيا كانت قيمة الثابت C.

برهان خطأ حدسية ميرتنز لا يعني نهائيا برهان خطأ فرضية ريمان. اعتقد لمدة طويلة أن حدسية ميرتنز خاطئة، إلا أن برهان خطإها لم يقدم إلا سنة 1985.

حسب عالم رياضيات اسمه فون ستيرنك قيمة دالة ميرتنز إلى حدود خمسة ملايين، سنة 1912، فوضع حدسيته المعروفة بفرضية ستيرنك.

• بوابة نظرية الأعداد