جداء نقطي

ليكن ${\displaystyle E}$ فضاء متجهي حقيقي (معرف على حقل الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$)

نعرف الجداء السُلمي على أنه كل دالة ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }:\quad &E\times E\longrightarrow \mathbb {R} \\&(x,y)\longmapsto \displaystyle \langle x|y\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \forall x,y,z\in E\quad {\mathcal {\forall }}a,b\in {\displaystyle \mathbb {R} }}$

• ${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle }$
• ${\displaystyle \langle ax+by|z\rangle =a\langle x|z\rangle +b\langle y|z\rangle }$
• ${\displaystyle \langle x|x\rangle \geq 0}$
• ${\displaystyle \langle x|x\rangle =0\quad \Longleftrightarrow \quad x=0_{E}}$

الضرب القياسي الاعتيادي لمتجهتين ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ و ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ يعرف ويرمز له بـ [3]

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}

على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، الضرب القياسي لمتجهين ${\displaystyle (1,-3,5)}$ و ${\displaystyle (-1,-2,4)}$ هو :

${\displaystyle (-1,-2,4)\cdot (1,-3,5)=(-1)\times 1+(-2)\times (-3)+4\times 5=-1+6+20=25}$

الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة ${\displaystyle \theta }$

في الفضاء الإقليدي، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos \theta }$

حيث A هو طول المتجه A وB هو طول المتجه B وθ هي الزاوية المحصورة بينهما.

مثلث ضلعاه a وb تفصلهما زاوية θ.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} &=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\&=a^{2}-2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \\\end{aligned}}}$

وهذا هو قانون الجيب التمام. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي

انظر إلى فضاء متجهي معياري.