جداء

3 في 4 تساوي 12

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره ${\displaystyle r}$ وعدد أعمدته ${\displaystyle s}$ يعطي :

${\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}$

كرة.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}$

وبتعبير آخر:

• جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
• جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
• جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
• جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.

جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}$

يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ كما تبين ذلك الصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}}$

عدد عقدي في تمثيله القطبي.

يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:

${\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}$

وبالإضافة إلى ذلك،

${\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }}$, ومن ذلك يحصل على ما يلي:

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}$

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع عمدتيهما.

جداء قياسي هو تطبيق ثنائي الخطية:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

بالشروط التالية، ${\displaystyle v\cdot v>0}$ من أجل كل ${\displaystyle 0\not =v\in V}$.

من الجداء القياسي، يمكننا تحديد معيار بجعل ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$.

الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

في فضاء إقليدي بُعده ${\displaystyle n}$، الجداء القياسي الاعتيادي (يسمى ببساطة جداءا قياسيا) يعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

لتكن المصفوفتين

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ و ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

جذاؤهما هو:

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$