جبر بول

ثلاثة عمليّات رئيسيّة في الجبر البولياني، هي:

• العطف تُقرأ على أنّها واو العطف (وَ and) ويُرمز لها بالرمز ∧.
• الفصل تُقرأ على أنّها حرف التخيير (أو or) ويُرمز لها بالرمز ∨.
• النفي تُقرأ على أنها لا النافية، أو أي كلمة تُفيد النفي (ليس not) ويُرمز لها بالرمز ¬.

تختلف قيمة الحقيقة بين العددين باختلاف العمليّات بينَهما، ويُمكن الاعتبار أنّ عمليّة الاتصال ∧ هي عمليّة ضرب والانفصال ∨ عمليّة جمع. ونستطيع التعبير عن العمليّات إمّا جبريّاً، أو من خلال جدول الحقيقة. وجدول الحقيقة التالي يُلخّص العلاقة بين المُتغيّرات في العمليّات الأساسيّة:

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\wedge y}$ ${\displaystyle x\vee y}$ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \neg x}$ 0 1 1 0

إن العمليّات المذكورة أعلاه هي العمليّات الأساسيّة في الجبر البولياني، هذا يعني أنّنا نستطيع اشتقاق عمليّات أُخرى مبنيّة على هذه العمليّات الأساسيّة. والعمليّات الثلاث المُشتقّة هي:

${\displaystyle x\rightarrow y=\neg {x}\vee y}$

${\displaystyle x\oplus y=(x\vee y)\wedge \neg {(x\wedge y)}}$

${\displaystyle x\equiv y=\neg {(x\oplus y)}}$

ويمكن تمثيل هذه العمليّات عبر جدول الحقيقة التالي:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle x\rightarrow y}$	${\displaystyle x\oplus y}$	${\displaystyle x\equiv y}$
0	0	1	0	1
1	0	0	1	0
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1

يعرف قانون الإبدال لعملية الانفصال كما يلي:

${\displaystyle A\lor B=B\lor A}$

حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).

ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الانفصال (أو) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الجمع في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للجمع Commutative law of addition.

يعرف قانون الإبدال لعملية الاتصال كما يلي:

${\displaystyle A\land B=B\land A}$

حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).

ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الاتصال (و) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الضرب في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للضرب Commutative law of multiplication.

يعرف قانون الدمج لعملية الانفصال كما يلي:

${\displaystyle A\lor (B\lor C)=(A\lor B)\lor C}$

حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).

ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (أو) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الجمع في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للجمع Associative law of addition.

يعرف قانون الدمج لعملية الاتصال كما يلي:

${\displaystyle A\land (B\land C)=(A\land B)\land C}$

حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).

ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (و) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الضرب في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للضرب Associative law of multiplication.

يعرف قانون التوزيع لعمية الاتصال (و) على عملية الانفصال (أو) كما يلي:

${\displaystyle A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)}$

وهو يشابه قانون توزيع الضرب على الجمع في الجبر:

${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$

ولذلك يسمى القانون في الجبر البولياني بقانون توزيع الضرب على الجمع Distributive law of multiplication over addition.

يعرف قانون التوزيع لعمية الانفصال (أو) على عملية الاتصال (و) كما يلي:

${\displaystyle A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C)}$

وهذا القانون ليس له قانون مماثل في الجبر العادي. ويمكن إثبات هذا القانون بطريقتين:

• بإيجاد جدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يمين المتطابقة، وجدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يسارها، ومطابقة الجدولين.
• باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال الموضح أعلاه. فبالنظر إلى الطرف الأيمن للمتطابقة، نجد أنه يمكننا توزيع ${\displaystyle (A\lor B)}$ على ${\displaystyle (A\lor C)}$ وذلك باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال:

${\displaystyle R.H.S=(A\lor B)\land (A\lor C)=((A\lor B)\land A)\lor ((A\lor B)\land C)}$

بعد ذلك يمكن توزيع ${\displaystyle A}$ على ${\displaystyle (A\lor B)}$ وتوزيع ${\displaystyle C}$ على ${\displaystyle (A\lor B)}$ باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:

${\displaystyle ((A\lor B)\land A)\lor ((A\lor B)\land C)=(A\land A)\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)}$

ونلاحظ أن قيمة ${\displaystyle (A\land A)}$ مكافئة لـ ${\displaystyle A}$ (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة ${\displaystyle A}$ مساوية للصفر، فإن قيمة ${\displaystyle (A\land A)}$ تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال ${\displaystyle (A\land A)}$ بالمتغير ${\displaystyle A}$ مباشرة.

${\displaystyle (A\land A)\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)=A\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)}$

نلاحظ أيضاً أن قيمة ${\displaystyle A\lor (B\land A)\lor (A\land C)}$ مكافئة لـ ${\displaystyle A}$ (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة ${\displaystyle A}$ مساوية للصفر، فإن التعبير كله يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة ${\displaystyle A}$ مساوية للواحد، فإن التعبير كله يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي ${\displaystyle B}$ و${\displaystyle C}$. وبهذا يمكن استبدال ${\displaystyle A\lor (B\land A)\lor (A\land C)}$ بالمتغير ${\displaystyle A}$ مباشرة:

${\displaystyle A\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)=A\lor (B\land C)=L.H.S}$

${\displaystyle A\lor 0=A}$

${\displaystyle A\land 1=A}$

${\displaystyle A\lor 1=1}$

${\displaystyle A\land 0=0}$

${\displaystyle A\lor A=A}$

${\displaystyle A\land A=A}$

${\displaystyle A\lor \neg {A}=1}$

${\displaystyle A\land \neg {A}=0}$

${\displaystyle \neg (\neg A)=A}$

${\displaystyle A\land (A\lor B)=A}$

${\displaystyle A\lor (A\land B)=A}$

${\displaystyle A\lor (\neg A\land B)=A\lor B}$

وتنص النظرية على أن المتمم لحاصل ضرب (اتصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل جمع (انفصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:

${\displaystyle \neg (A\land B)=\neg A\lor \neg B}$

وتنص النظرية على أن المتمم لحاصل جمع (انفصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل ضرب (اتصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:

${\displaystyle \neg (A\lor B)=\neg A\land \neg B}$