ثابت (رياضيات)

يمكن استخدام ثابت لتحديد دالة ثابتة تتجاهل تعبيرها وتعطي دائما نفس القيمة. وهناك دالة ثابتة لمتغير واحد، مثل ${\displaystyle f(x)=5}$ لها رسم بياني يمثل خطا مستقيما أفقيا موازيا للمحور x. هذه الدالة تأخذ دائما نفس القيمة (في هذه الحالة، 5) لأن المجهول لا يظهر في تعبير الدالة.

يمكن رؤية الطبيعة التي تعتمد على سياق مفهوم «ثابت» في هذا المثال من حساب التفاضل والتكامل الأولي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ is constant (i.e. does not depend on }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{where }}\mathbf {constant} {\text{ means not depending on }}x.\end{aligned}}}$

«الثابت» ("Constant") يعني عدم الاعتماد على المتغير؛ لا تتغير عندما يتغير هذا المتغير. في الحالة الأولى أعلاه، تعني لا تعتمد على h؛ وفي الثانية، تعني لا تعتمد على المتغير x.

تحدث بعض القيم في كثير من الأحيان في الرياضيات، ويشار إليها تقليديا برمز معين. وتسمى هذه الرموز القياسية وقيمها بالثوابت الرياضية. وتشمل الأمثلة:

• 0 (صفر).
• 1 (واحد)، العدد الطبيعي بعد الصفر
• π (ط)، ثابت يمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، يساوي تقريبا 3.141592653589793238462643...[2]
• e, يساوي تقريبا 2.718281828459045235360287...
• i، الوحدة التخيلية مثل i² = −1.
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (الجذر التربيعي ل 2)، هو طول قطري المربع الذي جوانبه تساوي واحد، يساوي تقريبا 1.414213562373095048801688.
• φ (نسبة ذهبية)، تساوي تقريبا 1.618033988749894848204586، أو جبريا ${\displaystyle 1+{\sqrt {5}} \over 2}$.

في حساب التفاضل والتكامل، يتم التعامل مع الثوابت بعدة طرق مختلفة اعتمادا على العمليات. على سبيل المثال، مشتق الدالة الثابتة هو صفر. وذلك لأن المقاييس المشتقة لمعدل تغير الدالة فيما يتعلق بالمتغير، وبما أن الثوابت، بحكم تعريفها، لا تتغير، فمشتقاتها دائما تساوي صفر. على العكس من ذلك، عند دمج دالة ثابتة، يتم ضرب ثابت في متغير التكامل. أثناء تقييم النهاية، يبقى الثابت كما كان قبل وبعد التقييم.

وكثيرا ما ينطوي تكامل دالة بمتغير واحد على ثابت التكامل. وينشأ هذا بسبب طبيعة المشتق المتكامل كعكس المشتق التفاضلي، بمعنى أن الهدف من التكامل هو استعادة الدالة الأصلية قبل التمايز. والفارق بين الدالة الثابتة هو الصفر، كما ذكر أعلاه، والمشتق التفاضلي هو مشتق خطي، وبالتالي فإن الدوال التي تختلف فقط من خلال مصطلح ثابت لها نفس المشتقات. وللاعتراف بذلك، يضاف تكامل ثابت إلى تكامل غير منتهي؛ وهذا يضمن أن يتم تضمين جميع الحلول الممكنة. وعادة ما يكتب ثابت التكامل باسم 'h' ويمثل ثابت مع قيمة ثابتة ولكن غير محددة.

• عبارة (رياضيات)
• ثابت فيزيائي
• ثابت رياضي

• بوابة علوم
• بوابة رياضيات
• بوابة جبر