تمثيل القبولية

رمز الموصلية الكهربية على اليمين، والرمز الميكانيكي للمقاومة الميكانيكية (المُثبّط) على اليسار.[12][13]

يُمثل «فقدان الطاقة في النظام الميكانيكي نتيجة عمليات مثل الاحتكاك» بـ«الموصلية الكهربائية»، والمكون الميكانيكي المماثل الذي يعبر بالمقاومة الميكانيكية هو ممتص الصدمات أو الذي يؤدي وظيفة التخميد. القانون الذي يوضح العلاقة بين المقاومة الكهربية والضيغ الفيزيائية الأخرى هو قانون أوم:

${\displaystyle i=vG}$

والمعادلة المماثلة في المجال الميكانيكي:

${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m} }}$

حيث: G = 1/R هي الموصلية الكهربية، وR هي المقاومة، وv هو فرق الجهد، وi هو التيار الكهربي، وR_m هي المقاومة الميكانيكية، أو التخميد، وF هي القوة، وu هي السرعة الناجمة عن القوة.

الموصلية الكهربية هي الجزء الحقيقي من القبولية الكهربائية، وبالمثل المقاومة الميكانيكية هي الجزء الحقيقي من المقاومة الميكانيكية.[14]

رمز المحث أو الملف الكهربي على اليمين، ومماثله في النظام الميكانيكي رمز المطاوعة الميكانيكية على اليسار.[9][15]

الكمية الميكانيكية التي يتم تمثيلها بـ«الحث» في تمثيل القبولية هي هي المطاوعة وهي مقلوب الجساءة،  وعلى ذلك يمكن تمثيل المحث في المجال الكهربي بالنابض أو الزُنْبُرُك في المجال الميكانيكي. ويخضع للمعادلة:

${\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}}$

والمعادلة المماثلة في المجال الميكانيكي هي قانون هوك:

${\displaystyle u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}}$

حيث: L هو الحث، وt هو الزمن، وC_m = 1/S هي المطاوعة الميكانيكية، وS هي الجساءة.[16]

معاوقة المحث هي قيمة خيالية يُعبر عنها بالمعادلة:

${\displaystyle Z=j\omega L}$

والمعادلة المماثلة في المجال الميكانيكي:

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }=j\omega C_{\mathrm {m} }}$

حيث: Z هي المعاوقة الكهربائية، وj هو الوحدة التخيلية، وω هو التردد الزاوي، وY_m هي المعاوقة الميكانيكية.[17]

رمز السعة الكهربية الممثلة بالمُكثف على اليمين، ورمز الكتلة المكانيكية على اليسار.[9][18]

الكمية الميكانيكية التي يتم تمثيلها بـ«السعة» هي الكتلة، وعلى ذلك يمكن تمثيل المكثف في المجال الكهربي بالمكثف. تخضع السعة الكهربية للمعادلة:

${\displaystyle i=C{\frac {dv}{dt}}}$

والمعادلة المماثلة في المجال الميكانيكي هي قانون نيوتن الثاني للحركة:

${\displaystyle F=M{\frac {du}{dt}}}$

حيث: C هي السعة، وM هي الكتلة.

معاوقة المكثف هي قيمة خيالية يُعبر عنها بالمعادلة:

${\displaystyle Z={1 \over j\omega C}}$

والمعادلة المماثلة في المجال الميكانيكي:[19]

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }={1 \over j\omega M}}$

هناك مشكلة منطقية في تمثيل الكتلة الميكانيكية بعنصر كهربي، وهذه المشكلة متعلقة بحقيقة أن سرعة النظام الميكانيكي (ومشتقاتها خاصة العجلة) تُقاس دائمًا بالنسبة لإطار مرجعي ثابت - عادة الأرض وجاذبيتها - فعندما تكون السرعة لها قيمة "u" عند نقطة معينة؛ تماثل بفرق جهد معين، وعندما تساوي السرعة صفر عند نقطة أخرى تعتبر هذه النقطة بمثابة الجهد المرجعي (الأرضي)، وحينها لا نستطيع تمثيل الكتلة بمكثف غير متصل بالجهد المرجعي.[20] لا تقتصر صعوبة تمثيل الكتلة على تمثيل القبولية فقط، فذات المشكلة تحدث في تمثيل المعاوقة، ولكن في هذه الحالة ستُمثَّل بمحث غير متصل بالجهد المرجعي، وهو ما لا يمكن تمثيله بالعناصر القياسية.[21]

دفعت هذه المعضلة مالكوم كلايف سميث البروفيسور في جامعة كامبريدج في عام 2002 إلى ابتكار عنصر ميكانيكي جديد مخزن للطاقة يسمى المقاصرة - مشتق من القصور - (بالإنجليزية: inertance)‏، يمكن لهذا العنصر الجديد أن يكون لطرفيه سرعتان مختلفتان وعجلتان مختلفتان - على عكس الكتلة -، المعادلة التي تصف المقاصرة:[22]

${\displaystyle F=B\left({\frac {du_{\mathrm {2} }}{dt}}-{\frac {du_{\mathrm {1} }}{dt}}\right)=B{\frac {d\Delta u}{dt}}}$

حيث: F هي القوة الواقعة على الطرفين، وB هي المقاصرة، وu₁ وu₂ هي سرعتا الطرفين 1 و2 على التوالي حيث: Δu = u₂ − u₁

للمقاصرة نفس وحدات الكتلة (كجم حسب نظام الوحدات الدولي)، لم يفترض سميث عنصرًا نظريًا فقط، بل افترح مثال حقيقي له، وصنع نموذج صغير لتوضيح فكرته، مقاصرة سميث تتكون من مكبس قادر على التحرك داخل وخارج اسطوانة، موصل بترس مسنن والذي يحرك عجلة داخل الاسطوانة، قد تلف هذه العجلة مع عقارب الساعة أو عكس عقارب الساعة حسب اتجاه عزم الدوران الناتج، حيث إن الطاقة اللازمة لدفع المكبس تعود عندما يتحرك المكبس في الاتجاه المعاكس، ومن ثم فإن الجهاز يخزن الطاقة بدلًا تبديدها تماما مثل الكتلة، بيد أن الكتلة الفعلية لهذا النموذج يجب أن تكون صغيرة جدًا، (مثاليًا، بلا كتلة). وبهذا يمتلك هذا النموذج طرفين يتحركان بسرعتين مختلفتين، كما أنه يخرن الطاقة مثل الكتلة.[23]

وجد سميث تطبيقًا عمليًا للمقاصرة في سباق فورمولا 1، وهو ما عُرف بـالمثبط-جيه (بالإنجليزية: J-damper)‏، والذي استُخدم كبديل للمثبط ذي الكتلة المُضبطة (وهو محظور حاليًا) كجزء من مكبح السيارة، وقد استخدم لأول مرة سرًا من قبل ماكلارين في عام 2005 بالتعاون مع سميث، ويُعتقد أنه سيتم استخدامه على نطاق واسع في المستقبل. كذلك اقترح سميث استخدام المقاصرة للحد من اهتزاز الآلات.[24]

يُمثل الرنان الميكانيكي بكتلة M ومطاوعة C_m في المجال الميكانيكي، ويُمثل في المجال الكهربي بدائرة رنان محث L ومكثف C تتكون من الحث والسعة. إذا كان لدينا كتلة ومطاوعة مثاليتين فسوف تكوّنان رنّانًا ميكانيكيًا مثلما يحدث في المجال الكهربي مع المحث والمكثف المثاليين، لكن في الواقع من الصعب الحصول على قيمة مثالية لأي من المكونات سواء الميكانيكية أو الكهربية، فلا يوجد مكثف محض ولا مطاوعة محضة، فالنابض مثلا يحتوي على مطاوعة وعلى كتلة صغيرة، والكتلة تحتوي بالأساس على كتلة وعلى مطاوعة صغيرة، ولكن يتم نظريًا فرض وجود مكونات مثالية لنتمكن من تمثيلها وتحليلها. الرنان الميكانيكي هو أهم مكون للمرشحات الميكانيكية.[25]

رمز مصدر الجهد الكهربي الثابت على اليمين، ويُمثل في المجال الميكانيكي بمصدر السرعة الثابتة على اليسار.[26] [27]

رمز مصدر التيار الكهربي الثابت على اليمين، ويُمثل في المجال الميكانيكي بمصدر القوة الميكانيكية الثابتة على اليسار.[27][28]

يتم تمثيل مصدر التيار الكهربي الثابت 'I' في تمثيل المعاوقة بمصدر القوة الميكانيكية الثابتة 'F'، أما مصدر الجهد الكهربي الثابت "V" فيتم تمثيله بمصدر السرعة الثابتة، بالرغم من أن مصدر الجهد الكهربي بمثابة القوة التي تدفع التيار الكهربي في المجال الكهربي، والتيار الكهربي يُعبّر عن سرعة تدفق الشحنات الكهربية، ولكن تمثيل القبولية لا يعتمد على مقدار التشابه بين المجالين ولكن يرغب فقط في الحفاظ على طوبولوجيا النظام الميكانيكي.[29]

من الأمثلة العملية على مصادر القوة الميكانيكية الثابتة النابض ثابت القوة (بالإنجليزية: constant-force spring)‏، وهو يماثل مصدر التيار الكهربي المثالي. ومن الأمثلة العملية على مصدر السرعة الثابتة الآلات ذات الحمل الحفيف، مثل محرك كهربي، يقود سير في مصنع، وهو يماثل مصدر الجهد الكهربي المثالي مثل بطارية كهربية تظل تعطي جهدًا ثابتًا لحمل أكبر بكثير من مقاومتها الداخلية.[26]

تتطلب الأنظمة الكهروميكانيكية استخدام المبدلات أو محولات الطاقة للتحويل بين المجالين الكهربي والميكانيكي، حيث تستخدم أسلوب الشبكات ثنائية المنفذ (بالإنجليزية: two-port networks)‏، وتُوصف هؤلاء بمعادلتين وأربع متغيرات مجهولة يمكن كتابتها على شكل مصفوفة ثنائية، ويُعبَّر عن قيمة المجاهيل الأربعة بوحدة القبولية (سيمنز أو مقلوب أوم):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}}$

على سبيل المثال: المتغير${\displaystyle y_{22}\,}$ من الجانب الكهربي، والعكس مع المتغير ${\displaystyle y_{11}\,}$ حيث يعبر عن القبولية من الجانب الكهربي عندما تكون القوة المؤثرة على الجانب الميكانيكي بصفر، أما المتغيران الآخران ${\displaystyle y_{21}\,}$ و${\displaystyle y_{12}\,}$ فيعبران عن موصلية النقل من الاتجاهين الأمامي والعكسي.[30]

يمكن تمثيل المحول الكهربي بآلة ميكانيكية بسيطة مثل البكرة أو الرافعة، حيث القوة الواقعة على الحمل قد تكون أكبر أو أصغر من القوة الداخلة اعتمادًا على ما يُسمى بالميزة الميكانيكية للآلة، إن كانت قيتمها أكبر أو أصغر من الواحد. تماثل الميزة الميكانيكية في تمثيل القبولية بمعكوس النسبة بين عدد لفات طرفي المحول، فإن كانت الميزة الميكانيكية للآلة أقل تُمثَّل بمحول رافع للجهد، وإن كانت أكبر تُمثَّل بمُحول خافض للجهد.[31]

يوضح الشكل دائرة رنين ميكانيكية بسيطة من كتلة M موصلة على التوازي مع نباض S ومقاومة ميكانيكية R_m، وتُمثل باستخدام تمثيل القبولية بدائرة رنين توافقي مكونة من مقاومة ومحث ومكثف على التوازي، يحتوي كلا النظامين على نفس تردد الرنين.[32]

دائرة رنين ميكانيكية بسيطة على اليسار، وتمثيلها الكهربي على اليمين.