تكامل ناقصي

يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول F بـ:

${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:

${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}.}$

بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.}$

في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.

تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:

${\displaystyle E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .}$

شكل جاكوبي:

${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$

وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:

${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}$

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$

حيث a هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و e هو إختلافه المركزي.

تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث Π على الشكل المثلثي:

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}$

أو

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.}$

يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن ${\displaystyle \Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)}$ لانهائي، مهما كان m.

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض φ أيضا بدلالة Π:

${\displaystyle m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).}$

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول K(k)

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول K بـ:

${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},}$

يمكن استخدام مفكوكه:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}}$

يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:

${\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني ${\displaystyle E(k)}$

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني E بـ:

${\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\mathrm {d} t}$.

بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي ${\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:

${\displaystyle c=4aE(e)}$

يمكن استخدام مفكوكه:

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.}$

حيث ${\displaystyle n!!}$ هو عاملي ثنائي.

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث ${\displaystyle \Pi (n,k)}$ مع عدة قيم ثابتة لـ n ${\displaystyle n}$

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث Π بـ:

${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$

يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة n،

${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$