تفرد بي كي إل

أساس علم الكونيات الحديث هو الحلول الخاصة لمعادلات مجال أينشتاين التي وجدها ألكسندر فريدمان في 1922-1924. يُفترض أن الكون متجانس (الفضاء له نفس الخصائص (المقاييس) المترية في جميع النقاط) ومتساوي الخواص (الفضاء له نفس المقاييس في جميع الاتجاهات). تتيح حلول فريدمان شكلين هندسيين محتملين للفضاء: نموذج مغلق بمساحة تشبه الكرة، منحنية للخارج (انحناء إيجابي ) ونموذج مفتوح مع مساحة تشبه السرج، منحنية إلى الداخل (انحناء سلبي ). في كلا النموذجين، لا يقف الكون ساكنًا، فهو إما يتوسع باستمرار (يصبح أكبر) أو يتقلص (يتقلص، ويصبح أصغر). وهذا ما أكده إدوين هابل الذي أسس انزياح هابل الأحمر للمجرات المتراجعة. الإجماع الحالي هو أن النموذج الخواص، بشكل عام، يعطي وصفًا مناسبًا للحالة الحالية للكون ؛ ومع ذلك، فإن الخواص في الكون الحالي بحد ذاته ليس سببًا لتوقع أنه كافٍ لوصف المراحل الأولى من تطور الكون . في الوقت نفسه، من الواضح أن التجانس في العالم الحقيقي، في أحسن الأحوال، مجرد تقريب. حتى لو كان بإمكان المرء التحدث عن توزيع متجانس لكثافة المادة على مسافات كبيرة مقارنة بالفضاء بين المجرات، فإن هذا التجانس يتلاشى عند المقاييس الأصغر. من ناحية أخرى، يذهب افتراض التجانس بعيدًا جدًا في الجانب الرياضي: فهو يجعل الحل متماثلًا للغاية والذي يمكن أن ينقل خصائص محددة تختفي عند النظر في حالة أكثر عمومية.

خاصية أخرى مهمة للنموذج الخواص هي الوجود الحتمي لتفرد الوقت : تدفق الوقت ليس مستمرًا، ولكنه يتوقف أو ينعكس بعد أن يصل الوقت إلى قيمة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. بين التفردات، يتدفق الوقت في اتجاه واحد: بعيدًا عن التفرد ( سهم الوقت ). في النموذج المفتوح، يوجد تفرد لمرة واحدة، لذا يكون الوقت محدودًا في أحد طرفيه ولكنه غير محدود في الطرف الآخر، بينما في النموذج المغلق، هناك نوعان من التفردات التي تحدد الوقت عند كلا الطرفين ( الانفجار العظيم والأزمة الكبيرة ).

الخصائص الفيزيائية الوحيدة المثيرة للاهتمام للزمن المكاني (مثل التفردات) هي تلك الخصائص المستقرة، أي تلك الخصائص التي لا تزال تحدث عندما تكون البيانات الأولية مضطربة قليلاً. من الممكن أن تكون التفرد مستقرًا ولكنها ليست ذات فائدة مادية: الاستقرار ضروري ولكنه ليس شرطًا كافيًا للأهمية المادية. على سبيل المثال، يمكن أن يكون التفرد مستقرًا فقط في جوار مجموعات البيانات الأولية المقابلة لأكوان متباينة الخواص. نظرًا لأن الكون الفعلي يبدو الآن شبه متناحي الخواص، فإن مثل هذه التفرد لا يمكن أن تحدث في كوننا. الشرط الكافي ليكون التفرد المستقر ذا فائدة جسدية هو شرط أن تكون التفرد عامة (أو عامة). بشكل تقريبي، يكون التفرد المستقر عامًا إذا حدث بالقرب من كل مجموعة من الظروف الأولية وكانت الحقول غير الجاذبية مقيدة بطريقة معينة إلى الحقول "الواقعية فيزيائيًا" بحيث تكون معادلات أينشتاين، ومعادلات الحالة المختلفة، وما إلى ذلك، يفترض أنه يحتفظ بأزمنة الفضاء المتطورة. قد يحدث أن تكون التفرد مستقرًا في ظل اختلافات صغيرة في درجات الجاذبية الحقيقية للحرية، ومع ذلك فهي ليست عامة لأن التفرد يعتمد بطريقة ما على نظام الإحداثيات، أو بالأحرى على اختيار السطح الفائق الأولي الذي ينطلق منه الزمكان. يتطور.

بالنسبة لنظام المعادلات التفاضلية غير الخطية، مثل معادلات أينشتاين، لا يتم تحديد الحل العام بشكل لا لبس فيه. من حيث المبدأ، قد يكون هناك تكاملات عامة متعددة، وقد يحتوي كل منها على مجموعة فرعية محدودة فقط من جميع الشروط الأولية الممكنة. قد تحتوي كل من هذه التكاملات على جميع الوظائف المستقلة المطلوبة والتي، مع ذلك، قد تخضع لبعض الشروط (على سبيل المثال، بعض عدم المساواة ). لذلك، فإن وجود حل عام ذو تفرد لا يمنع وجود حلول عامة إضافية أخرى لا تحتوي على تفرد. على سبيل المثال، لا يوجد سبب للشك في وجود حل عام بدون تفرد يصف جسمًا منعزلًا بكتلة صغيرة نسبيًا.

من المستحيل العثور على جزء لا يتجزأ من جميع الأماكن وفي كل الأوقات. ومع ذلك، هذا ليس ضروريًا لحل المشكلة: يكفي دراسة الحل بالقرب من التفرد. وهذا من شأنه حل أيضا جانبا آخر للمشكلة: خصائص الزمكان المتري تطور في الحل العام عندما يصل إلى التفرد المادي، تفهم على أنها نقطة حيث كثافة المادة والثوابت لل انحناء ريمان الموتر تصبح لانهائية.

كانت إحدى المشكلات الرئيسية التي درستها مجموعة لانداو (التي تنتمي إليها بي كي إل) هي ما إذا كانت النماذج الكونية النسبية تحتوي بالضرورة على فرادة زمنية أو ما إذا كانت فرادة الوقت هي قطعة أثرية من الافتراضات المستخدمة لتبسيط هذه النماذج. إن استقلال التفرد في افتراضات التناظر يعني أن فرادات الوقت لا توجد فقط في الخاص، ولكن أيضًا في الحلول العامة لمعادلات أينشتاين. من المعقول أن نقترح أنه في حالة وجود مفردة في الحل العام، يجب أن تكون هناك بعض المؤشرات التي تستند فقط إلى الخصائص الأكثر عمومية لمعادلات أينشتاين، على الرغم من أن هذه المؤشرات في حد ذاتها قد تكون غير كافية لوصف التفرد.

معيار عمومية الحلول هو عدد وظائف إحداثيات الفضاء المستقلة التي تحتوي عليها. وتشمل هذه الوظائف "المستقلة جسديًا" فقط والتي لا يمكن تقليل عددها بأي اختيار للإطار المرجعي . في الحل العام، يجب أن يكون عدد هذه الوظائف كافيًا لتعريف الشروط الأولية بشكل كامل (توزيع المادة وحركتها، وتوزيع مجال الجاذبية ) في لحظة معينة من الوقت يتم اختيارها كأولوية. هذا الرقم هو أربعة لمساحة فارغة (فراغ)، وثمانية لمادة و / أو مساحة مملوءة بالإشعاع.[12][13]

عمل سابق لمجموعة لانداو ؛ [14] [15] [16] تمت مراجعته في [12] ) أدى إلى استنتاج مفاده أن الحل العام لا يحتوي على تفرد مادي. تم إجراء هذا البحث عن فئة أوسع من الحلول ذات التفرد، بشكل أساسي، من خلال طريقة التجربة والخطأ، نظرًا لعدم وجود نهج منهجي لدراسة معادلات أينشتاين. النتيجة السلبية، التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة، ليست مقنعة بحد ذاتها ؛ الحل بالدرجة اللازمة من العمومية من شأنه أن يبطله، وفي نفس الوقت سيؤكد أي نتائج إيجابية تتعلق بالحل المحدد.

في ذلك الوقت، كان المؤشر الوحيد المعروف لوجود التفرد المادي في الحل العام مرتبطًا بشكل معادلات آينشتاين المكتوبة في إطار متزامن، أي في إطار يتم فيه مزامنة الوقت المناسب x ⁰ = t في جميع أنحاء الفضاء ؛ في هذا الإطار، يكون عنصر المسافة الفضائية dl منفصلاً عن الفاصل الزمني dt .[note 1] معادلة اينشتاين

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\tfrac {1}{2}}T}$

(eq. 1)

مكتوبًا في إطار متزامن يعطي نتيجة يصبح فيها المحدد المتري g حتمًا صفرًا في وقت محدد بغض النظر عن أي افتراضات حول توزيع المادة.[12][13]

ومع ذلك، فإن الجهود المبذولة لإيجاد التفرد المادي العام قد تم التخلي عنها بعد أن أصبح من الواضح أن التفرد المذكور أعلاه مرتبط بخاصية هندسية محددة للإطار المتزامن: عبور إحداثيات الخط الزمني. يحدث هذا التقاطع على بعض الأسطح الفوقية المحاطة وهي نظائر رباعية الأبعاد للأسطح الكاوية في البصريات الهندسية ؛ يصبح g صفرًا بالضبط عند هذا التقاطع.[16] لذلك، على الرغم من أن هذه التفردية عامة، إلا أنها خيالية وليست مادية ؛ يختفي عند تغيير الإطار المرجعي. هذا، على ما يبدو، أقنع الباحثين بإجراء مزيد من التحقيقات على هذا المنوال.

مرت عدة سنوات قبل أن يتجلى الاهتمام بهذه المشكلة مرة أخرى عندما نشر بنروز بعام 1965 نظرياته التي ربطت بين وجود تفرُّد ذات طابع غير معروف مع بعض الافتراضات العامة جدًا التي لم يكن لديها أي شيء مشترك مع اختيار الإطار المرجعي. تم العثور على نظريات أخرى مماثلة في وقت لاحق من قبل هوكينج [17] [18] وجيروتش [19] (انظر نظريات بينروز - هوكينغ التفرد ). أدى هذا إلى إحياء الاهتمام بالبحث عن حلول فردية.

في مساحة متجانسة وخواص الخواص، يتم تحديد المقياس تمامًا، تاركًا مجانًا فقط علامة الانحناء. بافتراض تجانس المساحة فقط مع عدم وجود تناظر إضافي مثل الخواص، يترك قدرًا أكبر من الحرية في اختيار المقياس. يتعلق ما يلي بالجزء المكاني من المقياس في لحظة معينة من الوقت t بافتراض إطار متزامن بحيث يكون t هو نفس الوقت المتزامن للمساحة بأكملها.

الشكل 3. ديناميكيات مقاييس كاسنر eq. 2 في إحداثيات كروية نحو التفرد. معامل ليفشيتز - خالاتنيكوف هو u = 2 (1 / u = 0.5) وإحداثيات r هي 2 p _α (1 / u ) τ حيث τ هي الوقت اللوغاريتمي: τ = ln t . [note 2] الانكماش على طول المحاور خطي ومتباين الخواص (بدون فوضى).

يبدأ نهج بي كي إل للمساحات المتجانسة (على عكس الخواص) بتعميم حل معين دقيق مشتق من كاسنر [34] لحقل في الفراغ، يكون فيه الفراغ متجانسًا وله مقياس إقليدي يعتمد على الوقت وفقًا لمقياس كاسنر.

${\displaystyle dl^{2}=t^{2p_{1}}dx^{2}+t^{2p_{2}}dy^{2}+t^{2p_{3}}dz^{2}}$

(eq. 2)

( dl هو عنصر الخط ؛ dx، dy، dz هي عمليات نزوح متناهية الصغر في الأبعاد المكانية الثلاثة، و t هي الفترة الزمنية التي مرت منذ بعض اللحظات الأولية t ₀ = 0). هنا، p ₁، p ₂، p ₃ هي أي ثلاثة أرقام تفي بشروط كاسنرالتالية

${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=1.}$

(eq. 3)

بسبب هذه العلاقات، يكون رقم واحد فقط من الأعداد الثلاثة مستقلًا ( معادلتان بثلاثة مجاهيل ). جميع الأرقام الثلاثة ليست هي نفسها أبدًا ؛ رقمان متماثلان فقط في مجموعات القيم ${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$ و (0، 0، 1). [note 3] في جميع الحالات الأخرى، تكون الأرقام مختلفة، رقم واحد سلبي والآخران موجبان. تم إثبات ذلك جزئيًا من خلال تربيع جانبي الشرط الأول eq. 3 و تطوير الساحة:

${\displaystyle \left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1}$

المصطلح ${\displaystyle \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)}$ يساوي 1 عن طريق الشرط الثاني eq. 3 وبالتالي يجب أن يكون المصطلح مع حاصل الضرب المختلط صفرًا. هذا ممكن إذا كانت واحدة على الأقل من p ₁ و p ₂ و p ₃ سالبة.

إذا تم ترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي، p ₁ < p ₂ < p ₃، فإنها تتغير في الفترات (الشكل 4)

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {1}{3}}\leq p_{1}\leq 0,\\\ 0\leq p_{2}\leq {\tfrac {2}{3}},\\{\frac {2}{3}}\leq p_{3}\leq 1.\end{matrix}}}$

(eq. 4)

الشكل 4. قطعة من p ₁، p ₂، p ₃ مع وسيطة 1 / u . الأرقام p ₁ ( u ) و p ₃ ( u ) تتزايد بشكل رتيب بينما p ₂ ( u ) هي دالة متناقصة بشكل رتيب لـ u .

مقياس كاسنر eq. 2 يتوافق مع مساحة مسطحة متجانسة ولكن متباينة الخواص حيث تزداد جميع الأحجام بمرور الوقت بطريقة تزيد فيها المسافات الخطية على محورين y و z بينما تقل المسافة على طول المحور x. تسبب اللحظة t = 0 تفردًا في الحل ؛ لا يمكن تجنب التفرد في المقياس عند t = 0 بواسطة أي تحويل للإطار المرجعي. عند التفرد، تذهب ثوابت موتر الانحناء رباعي الأبعاد إلى اللانهاية. الاستثناء هو الحالة p ₁ = р ₂ = 0، р ₃ = 1 ؛ تتوافق هذه القيم مع الزمكان المسطح: التحويل t sh z = ζ، t ch z = τ يحول مقياس كاسنر ( eq. 2 ) إلى تحويل جاليليو.

معامل بي كي إل المتغير في التجربة بأرقام P_1، P _2، P ₃، وكمعامل واحد مستقل وحقيقي معامل u (ليفشيتز - خالاتنيكوف [35] ) على النحو التالي:

${\displaystyle p_{1}(u)={\frac {-u}{1+u+u^{2}}},\ p_{2}(u)={\frac {1+u}{1+u+u^{2}}},\ p_{3}(u)={\frac {u(1+u)}{1+u+u^{2}}}}$

(eq. 5)

تبدو معلمات مؤشر كاسنر غامضة حتى يفكر المرء في القيدين على المؤشرات eq. 3 . يعمل كلا القيدان على إصلاح المقياس العام للمؤشرات بحيث يمكن أن تختلف نسبها فقط. من الطبيعي اختيار إحدى هذه النسب كمعامل جديد، والذي يمكن القيام به بست طرق مختلفة. انتقاء u = u ₃₂ = p ₃ / p ₂، على سبيل المثال، من السهل التعبير عن جميع النسب الست الممكنة بدلالة ذلك. حذف p ₃ = up ₂ أولاً، ثم استخدام القيد الخطي لإزالة p ₁ = 1 - p ₂ - up ₂ = 1 - (1 + u ) p ₂، يقلل القيد التربيعي إلى معادلة من الدرجة الثانية في p _2.

${\displaystyle \left[1-\left(1+u\right)p_{2}\right]^{2}+p_{2}^{2}+\left(up_{2}\right)^{2}=1}$

(eq. 5a)

مع الجذور p ₂ = 0 (واضح) و p ₂ = (1 + u ) / (1 + u + u ² )، ومن ثم يتم الحصول على p ₁ و p ₃ بالتعويض العكسي . يمكن للمرء تحديد ستة من هذه المعلمات u _ab = p _a / p _b، والتي لها p _c ≤ p _b ≤ p _a عندما ( c، b، a ) هي تبديل دوري لـ (1، 2، 3). [36] يتم الحصول على جميع القيم المختلفة لـ p ₁ و p ₂ و p ₃ مرتبة على النحو الوارد أعلاه مع تشغيل u في النطاق u ≥ 1. يتم إحضار القيم u <1 في هذا النطاق وفقًا لـ

${\displaystyle p_{1}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{1}(u),\ p_{2}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{3}(u),\ p_{3}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{2}(u)}$

(eq. 6)

في الحل المعمم، الشكل المقابل لـ eq. 2 ينطبق فقط على المقياس المقارب (المقياس القريب من التفرد t = 0)، على التوالي، على الشروط الرئيسية لتوسعه المتسلسل بواسطة قوى t . في الإطار المرجعي المتزامن يتم كتابته في شكل eq. 1 مع عنصر مسافة المسافة

${\displaystyle dl^{2}=\left(a^{2}l_{\alpha }l_{\beta }+b^{2}m_{\alpha }m_{\beta }+c^{2}n_{\alpha }n_{\beta }\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }}$

(eq. 7)

حيث v = l [ mn ]. من المناسب إدخال الكميات التالية [note 4]

${\displaystyle a=t^{p_{l}},\ b=t^{p_{m}},\ c=t^{p_{n}}}$

(eq. 8)

تحدد المتجهات ثلاثية الأبعاد l، m، n الاتجاهات التي تتغير فيها مسافة الفضاء بمرور الوقت بواسطة قوانين القوة eq. 8 . هذه المتجهات، وكذلك الأرقام p _l، p _m، p _n التي، كما كان من قبل، مرتبطة بـ eq. 3، هي وظائف إحداثيات الفضاء. القوى p _l، p _m، p _n ليست مرتبة بترتيب تصاعدي، مع الاحتفاظ بالرموز p ₁، p ₂، p ₃ للأرقام في eq. 5 التي تبقى مرتبة بترتيب تصاعدي. محدد مقياس eq. 7 هو

${\displaystyle -g=a^{2}b^{2}c^{2}v^{2}=t^{2}v^{2}}$

(eq. 9)

حيث v = l [mn]. من الملائم إدخال الكميات التالية [note 5]

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {l} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {l} }{v}},\ \mu ={\frac {\mathbf {m} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {m} }{v}},\ \nu ={\frac {\mathbf {n} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {n} }{v}}.}$

(eq. 10)

مقياس الفضاء في eq. 7 متباين الخواص لأن قوى t في eq. 8 لا يمكن أن يكون لها نفس القيم. عند الاقتراب من التفرد عند t = 0، تنخفض المسافات الخطية في كل عنصر فضائي في اتجاهين وتزداد في الاتجاه الثالث. حجم العنصر يتناسب مع t .

يتم تقديم مقياس كاسنر في معادلات أينشتاين عن طريق استبدال موتر القياس المتري γ _αβ من eq. 7 دون تحديد مسبق، تبعية a، b، c من t :[note 6]

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

حيث تشير النقطة الموجودة فوق الرمز إلى التمايز فيما يتعلق بالوقت. معادلة آينشتاين eq. 11 تأخذ الشكل

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0.}$

(eq. 14)

جميع شروطه هي من الدرجة الثانية للكمية الكبيرة (عند t → 0) 1 / t . في معادلات أينشتاين، eq. 12، تظهر شروط هذا الطلب فقط من المصطلحات المتباينة زمنيًا. إذا لم تتضمن مكونات P _αβ شروط ترتيب أعلى من اثنين، إذن

${\displaystyle -R_{l}^{l}={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{m}^{m}={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{n}^{n}={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}=0}$

(eq. 15)

حيث تحدد المؤشرات l، m، n مكونات الموتر في الاتجاهات l، m، n .[12] هذه المعادلات مع eq. 14 أعط التعبيرات eq. 8 مع القوى التي ترضي eq. 3. ومع ذلك، فإن وجود قوة سالبة واحدة بين القوى الثلاث p _l، p _m، p _n ينتج عنه ظهور مصطلحات من P _αβ بترتيب أكبر من t ⁻² . إذا كانت القدرة السالبة هي p _l ( p _l = p ₁ <0)، فإن P _αβ تحتوي على دالة الإحداثيات λ و eq. 12 يصبح

${\displaystyle {\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0.\\\end{aligned}}}$

(eq. 16)

هنا، المصطلحات الثانية من الترتيب t ^{−2 ( p _m + p _n - p _l )} حيث p _m + p _n - p _l = 1 + 2 | ص _ل | > 1. [note 7] لإزالة هذه الشروط واستعادة eq. 7، من الضروري فرض الشرط λ = 0 على وظائف الإحداثيات.

معادلات أينشتاين الثلاثة المتبقية eq. 13 تحتوي فقط على مشتقات الوقت من الدرجة الأولى للموتر المتري. إنها توفر ثلاث علاقات مستقلة عن الوقت يجب فرضها حسب الشروط الضرورية على وظائف التنسيق في eq. 7 . هذا، مع الشرط λ = 0، يجعل أربعة شروط. تربط هذه الشروط عشر وظائف إحداثيات مختلفة: ثلاثة مكونات لكل من المتجهات l، m، n، ووظيفة واحدة في قوى t (أي من الدوال p _l، p _m، p _n، المرتبطة بالشروط eq. 3 ). عند حساب عدد الوظائف التعسفية جسديًا، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن النظام المتزامن المستخدم هنا يسمح بتحولات عشوائية مستقلة عن الوقت للإحداثيات الفضائية الثلاثة. لذلك، يحتوي الحل النهائي على إجمالي 10 - 4 - 3 = 3 وظائف اعتباطية فيزيائية وهي أقل بواحد مما هو مطلوب للحل العام في الفراغ.

لا يتم التقليل من درجة العمومية التي تم التوصل إليها في هذه المرحلة من خلال إدخال المادة ؛ تتم كتابة المادة في eq. 7 ويساهم بأربع وظائف إحداثية جديدة ضرورية لوصف التوزيع الأولي لكثافته والمكونات الثلاثة لسرعته. هذا يجعل من الممكن تحديد تطور المادة فقط من قوانين حركتها في مجال الجاذبية المعطى مسبقًا وهو المعادلات الهيدروديناميكية.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {-g}}\sigma u^{i}\right)=0,}$

(eq. 17)

${\displaystyle (p+\varepsilon )u^{k}\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {1}{2}}u^{l}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}\right\rbrace =-{\frac {\partial p}{\partial x^{i}}}-u_{i}u^{k}{\frac {\partial p}{\partial x^{k}}},}$

(eq. 18)

حيث u ⁱ هي السرعة رباعية الأبعاد، ε و هي كثافات الطاقة وانتروبيا المادة (راجع [37] و ؛ [38] أيضًا ؛ [39] للحصول على التفاصيل، انظر [40] ). بالنسبة للمعادلة الفائقة الصغر للحالة p = ε / 3 الانتروبيا σ ~ ε ^1/4 . المصطلحات الرئيسية في eq. 17 eq. 18 هي تلك التي تحتوي على مشتقات زمنية. من eq. 17 ومكونات الفضاء من eq. 18 واحد لديه

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

فينتج،

${\displaystyle abcu_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}=\mathrm {const} ,\ u_{\alpha }\varepsilon ^{\frac {1}{4}}=\mathrm {const} ,}$

(eq. 19)

حيث "const" هي كميات لا تعتمد على الوقت. بالإضافة إلى ذلك، من الهوية u _i u ⁱ = 1 واحد لديه (لأن جميع المكونات المتغيرة لـ u _α لها نفس الترتيب)

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

حيث u _n هي مكون السرعة على طول اتجاه n المرتبط بأعلى قوة (موجبة) لـ t (بافتراض أن p _n = p ₃ ). من العلاقات المذكورة أعلاه، يتبع ذلك

${\displaystyle \varepsilon \sim {\frac {1}{a^{2}b^{2}}},\ u_{\alpha }\sim {\sqrt {ab}}}$

(eq. 20)

أو

${\displaystyle \varepsilon \sim t^{-2(p_{1}+p_{2})}=t^{-2(1-p_{3})},\ u_{\alpha }\sim t^{\frac {(1-p_{3})}{2}}.}$

(eq. 21)

يمكن استخدام المعادلات أعلاه لتأكيد أن مكونات المادة موتر الإجهاد-الطاقة-الزخم يقف في الجانب الأيمن من المعادلات

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

هي، في الواقع، إلى ترتيب أقل بمقدار 1 / t من الشروط الرئيسية في الجانب الأيسر. في المعادلات ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$ يؤدي وجود الأمر فقط إلى تغيير العلاقات المفروض على وظائف التنسيق المكونة لها.[12]

حقيقة أن ε تصبح لانهائية بموجب القانون eq. 21 يؤكد أن في حل eq. 7 يتعامل المرء مع التفرد المادي عند أي قيم للقوى p ₁، p ₂، p ₃ باستثناء (0، 0، 1). بالنسبة لهذه القيم الأخيرة، تكون التفرد غير مادية ويمكن إزالتها عن طريق تغيير الإطار المرجعي.

تنشأ التفرد الخيالي المطابق للقوى (0، 0، 1) نتيجة عبور إحداثيات الخط الزمني فوق بعض " السطح البؤري " ثنائي الأبعاد. كما هو [12] يمكن دائمًا اختيار إطار مرجعي متزامن بطريقة تجعل هذا الخط الزمني الحتمي يحدث بالضبط على هذا السطح (بدلاً من سطح كاوي ثلاثي الأبعاد). لذلك، يجب أن يوجد حل بهذا الشكل المتزامن لكامل التفرد الخيالي للفضاء مع مجموعة كاملة من الوظائف التعسفية اللازمة للحل العام. بالقرب من النقطة t = 0، فإنه يسمح بالتمدد المنتظم بواسطة قوى t الكاملة. لتحليل هذه الحالة، انظر. [41]

الحل العام بالتعريف مستقر تمامًا ؛ وإلا لما كان الكون موجودًا. أي اضطراب يعادل تغيير في الظروف الأولية في وقت ما ؛ نظرًا لأن الحل العام يسمح بشروط أولية عشوائية، فإن الاضطراب غير قادر على تغيير طابعه. بالنظر إلى هذه الزاوية، فإن الشروط الأربعة المفروضة على وظائف الإحداثيات في الحل eq. 7 أنواع مختلفة: ثلاثة شروط تنشأ من المعادلات ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ = 0 هي "طبيعية" ؛ هم نتيجة لهيكل معادلات آينشتاين. ومع ذلك، فإن الشرط الإضافي λ = 0 الذي يتسبب في فقدان وظيفة مشتقة واحدة، هو من نوع مختلف تمامًا: عدم الاستقرار الناجم عن الاضطرابات يمكن أن يكسر هذا الشرط. يجب أن يؤدي عمل هذا الاضطراب إلى إحضار النموذج إلى وضع آخر أكثر عمومية. لا يمكن اعتبار الاضطراب صغيراً: الانتقال إلى وضع جديد يتجاوز نطاق الاضطرابات الصغيرة جدًا.

يحدد تحليل سلوك النموذج تحت تأثير الاضطراب، الذي أجرته بي كي إل، وضعًا تذبذبًا معقدًا عند الاقتراب من التفرد.[2] [42] [43][44] لم يتمكنوا من إعطاء كل التفاصيل عن هذا الوضع في الإطار العريض للحالة العامة. ومع ذلك، أوضح بي كي إل أهم خصائص وخصائص الحل على نماذج محددة تسمح بدراسة تحليلية بعيدة المدى.

تعتمد هذه النماذج على مقياس فضاء متجانس من نوع معين. إن افتراض تجانس المساحة دون أي تناظر إضافي يترك حرية كبيرة في اختيار المقياس. يتم تصنيف جميع المساحات المتجانسة الممكنة (ولكن متباينة الخواص)، وفقًا لبيانكي، في عدة أنواع بيانكي (من النوع الأول إلى التاسع) . [45] (انظر أيضًا الحل المتجانس المعمم ) يبحث بي كي إل فقط في مساحات من أنواع بيانكي الثامن والتاسع.

إذا كان المقياس على شكل eq. 7 الشكل 7، لكل نوع من المساحات المتجانسة توجد علاقة وظيفية بين المتجهات المرجعية l و m و n وإحداثيات الفضاء. الشكل المحدد لهذه العلاقة ليس مهما. الحقيقة المهمة هي أنه بالنسبة للمسافات من النوع الثامن والتاسع، فإن الكميات λ و μ و ν eq. 10 عبارة عن ثوابت بينما جميع المنتجات "المختلطة" l rot m و l rot n و m rot l وما إلى ذلك . هي أصفار. بالنسبة للمسافات من النوع IX، فإن الكميات λ و μ و لها نفس العلامة ويمكن للمرء أن يكتب λ = μ = ν = 1 (تغيير الإشارة المتزامن للثوابت الثلاثة لا يغير شيئًا). بالنسبة للمسافات من النوع VIII، يكون للثوابتين إشارة معاكسة لعلامة الثابت الثالث ؛ يمكن للمرء أن يكتب، على سبيل المثال، λ = - 1، μ = ν = 1. [note 8]

وبالتالي تقتصر دراسة تأثير الاضطراب على "وضع كاسنر" على دراسة تأثير المصطلحات المحتوية على λ في معادلات أينشتاين. تعد الفراغات من النوع الثامن والتاسع أكثر النماذج ملاءمة لمثل هذه الدراسة. نظرًا لأن جميع الكميات الثلاثة λ و μ و في أنواع بيانكي هذه تختلف عن الصفر، فإن الشرط λ = 0 لا ينطبق بغض النظر عن الاتجاه l، m، n له اعتماد سالب على وقت قانون الطاقة.

معادلات أينشتاين للنماذج الفضائية من النوع الثامن والنوع التاسع هي [46] [note 9]

${\displaystyle {\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {\left({\dot {a}}bc\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\lambda ^{2}a^{4}-\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\mu ^{2}b^{4}-\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {\left(ab{\dot {c}}\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\nu ^{2}c^{4}-\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}\right]=0,\\\end{aligned}}}$

(eq. 22)

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0}$

(eq. 23)

(المكونات المتبقية ${\displaystyle R_{l}^{0}}$ و ${\displaystyle R_{m}^{0}}$ و ${\displaystyle R_{n}^{0}}$ و ${\displaystyle R_{l}^{m}}$ و ${\displaystyle R_{l}^{n}}$ و ${\displaystyle R_{m}^{n}}$ هي أصفار متطابقة). تحتوي هذه المعادلات على وظائف الوقت فقط ؛ هذا شرط يجب الوفاء به في جميع المساحات المتجانسة. هنا، eq. 22 eq. 23 دقيقة ولا تعتمد صحتها على مدى قرب المرء من التفرد عند t = 0. [note 10] مشتقات الوقت في eq. 22 eq. 23 تتخذ شكلًا أبسط إذا تم استبدال а، b، с باللوغاريتمات α، β، γ:

${\displaystyle a=e^{\alpha },\ b=e^{\beta },\ c=e^{\gamma },}$

(eq. 24)

استبدال المتغير t بـ وفقًا لما يلي:

${\displaystyle dt=abc\ d\tau .}$

(eq. 25)

ثم (تشير الرموز الفرعية إلى التمايز بواسطة τ):

${\displaystyle {\begin{aligned}2\alpha _{\tau \tau }&=\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\lambda ^{2}a^{4}=0,\\2\beta _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\mu ^{2}b^{4}=0,\\2\gamma _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}-\nu ^{2}c^{4}=0,\\\end{aligned}}}$

(eq. 26)

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta +\gamma \right)_{\tau \tau }=\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }.}$

(eq. 27)

جمع المعادلات معا eq. 26 والتعويض في الجانب الأيسر بالمجموع (α + β + γ) _{τ τ} وفقًا eq. 27 الشكل 27، يحصل المرء على معادلة تحتوي فقط على المشتقات الأولى والتي تعد أول تكامل للنظام eq. 26 :

${\displaystyle \alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }={\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}a^{4}+\mu ^{2}b^{4}+\nu ^{2}c^{4}-2\lambda \mu a^{2}b^{2}-2\lambda \nu a^{2}c^{2}-2\mu \nu b^{2}c^{2}\right).}$

(eq. 28)

تلعب هذه المعادلة دور الشرط الملزم المفروض على الحالة الأولية eq. 26 . وضع كاسنر eq. 8 هو حل eq. 26 عند تجاهل كل الحدود في الجانب الأيمن. لكن مثل هذا الموقف لا يمكن أن يستمر (عند t → 0) إلى أجل غير مسمى لأنه من بين هذه المصطلحات يوجد دائمًا بعض تلك التي تنمو. وبالتالي، إذا كانت القدرة السالبة في الوظيفة a ( t ) ( p _l = p ₁ )، فإن اضطراب وضع كاسنر سينشأ عن المصطلحات λ ² a ⁴ ؛ ستنخفض بقية الشروط مع تناقص t . إذا تم ترك شروط النمو فقط في الجانب الأيمن من eq. 26، يحصل المرء على النظام:

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }=-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha },\ \beta _{\tau \tau }=\gamma _{\tau \tau }={\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha }}$

(eq. 29)

(قارن eq. 16 ؛ أدناه يتم استبداله λ ² = 1). يجب أن يصف حل هذه المعادلات التطور المتري من الحالة الأولية، حيث يتم وصفه بواسطة eq. 8 مع مجموعة معينة من القوى (مع p _l <0) ؛ دع p _l = р ₁، p _m = р ₂، p _n = р ₃ بحيث

${\displaystyle a\sim t^{p_{1}},\ b\sim t^{p_{2}},\ c\sim t^{p_{3}}.}$

(eq. 30)

ثم

${\displaystyle abc=\Lambda t,\ \tau =\Lambda ^{-1}\ln t+\mathrm {const} }$

(eq. 31)

حيث Λ ثابت. الشروط الأولية eq. 29 يتم إعادة تعريف eq. 29

${\displaystyle \alpha _{\tau }=\Lambda p_{1},\ \beta _{\tau }=\Lambda p_{2},\ \gamma _{\tau }=\Lambda p_{3}\ \mathrm {at} \ \tau \to \infty }$

(eq. 32)

المعادلات eq. 29 مندمجة بسهولة ؛ الحل الذي يفي بشرط eq. 32 هو

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}={\frac {2|p_{1}|\Lambda }{\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau )}},\\b^{2}=b_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\\c^{2}=c_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\end{cases}}}$

(eq. 33)

حيث b ₀ و c ₀ هما ثابتان إضافيتان.

يمكن بسهولة ملاحظة أن تقارب الوظائف eq. 33 في t → 0 يساوي eq. 30 . التعبيرات المقاربة لهذه الوظائف والوظيفة t (τ) في τ → −∞ هي [note 11]

${\displaystyle a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.}$

التعبير عن a، b، c كوظائف لـ t، يكون بـ

${\displaystyle a\sim t^{p'_{l}},b\sim t^{p'_{m}},c\sim t^{p'_{n}}}$

(eq. 34)

حيث

${\displaystyle p'_{l}={\frac {|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}},p'_{m}=-{\frac {2|p_{1}|-p_{2}}{1-2|p_{1}|}},p'_{n}={\frac {p_{3}-2|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}}.}$

(eq. 35)

ثم

يوضح ما سبق أن الاضطراب يعمل بطريقة تجعله يغير أحد أوضاع Kasner مع وضع Kasner آخر، وفي هذه العملية تنقلب القوة السلبية لـ t من الاتجاه l إلى الاتجاه m : إذا كانت قبل ذلك p _l <0، فهي الآن كذلك ص ' _م <0. أثناء هذا التغيير، تمر الوظيفة a ( t ) عبر الحد الأقصى و b ( t ) يمر عبر الحد الأدنى ؛ ب، الذي كان يتناقص من قبل، يزداد الآن: أ من الزيادة يصبح تناقصًا ؛ ونقص c ( t ) يتناقص أكثر. الاضطراب نفسه (λ ² a ^4α في eq. 29 )، والذي كان يتزايد من قبل، يبدأ الآن في الانخفاض ويموت. يؤدي التطور الإضافي بالمثل إلى زيادة الاضطراب من الشروط مع μ ² (بدلاً من λ ² ) في eq. 26، التغيير التالي لوضع كاسنر، وهكذا.

من الملائم كتابة قاعدة استبدال الطاقة eq. 35 بمساعدة البارامترات eq. 5 :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {if} &p_{l}=p_{1}(u)&p_{m}=p_{2}(u)&p_{n}=p_{3}(u)\\\mathrm {then} &p'_{l}=p_{2}(u-1)&p'_{m}=p_{1}(u-1)&p'_{n}=p_{3}(u-1)\end{matrix}}}$

(eq. 37)

تظل القوة الأكبر من القوتين الموجبتين موجبة.

يطلق بي كي إل على هذا الانقلاب في القوة السلبية بين الاتجاهات حقبة كاسنر . إن المفتاح لفهم طبيعة التطور المتري عند الاقتراب من التفرد هو بالضبط عملية تناوب حقبة كاسنر مع تقليب القوى p _l، p _m، p _n بواسطة القاعدة eq. 37.

التناوب المتتالية eq. 37 مع قلب القوة السالبة p ₁ بين الاتجاهين l و m (فترة كاسنر) يستمر باستنفاد الجزء الكامل من u الأولي حتى اللحظة التي تكون فيها u <1. تتحول القيمة u <1 إلى u > 1 وفقًا لـ eq. 6 ؛ في هذه اللحظة القوة السالبة هي p _l أو p _m بينما p _n تصبح الأصغر من رقمين موجبين ( p _n = p ₂ ). السلسلة التالية من عهود كاسنر تقلب القوة السالبة بين الاتجاهين n و l أو بين n و m . عند القيمة الأولية التعسفية ( غير المنطقية ) لـ u تستمر عملية التناوب هذه غير محدودة. [note 12]

في الحل الدقيق لمعادلات أينشتاين، تفقد القوى p _l، p _m، p _n معناها الأصلي الدقيق. هذا الظرف يقدم بعض "غموض" في تحديد هذه الأرقام (ومعهم، إلى المعلمة ش) التي، وإن كانت صغيرة، يجعل معنى تحليل أي (على سبيل المثال، محددة عقلانية ) قيم ش. لذلك، فقط هذه القوانين التي تهم التعسفي القيم غير المنطقية من ش لها أي معنى خاص.

الفترات الأكبر التي تتأرجح فيها مقاييس المسافات الفضائية على محورين بينما تتناقص المسافات على طول المحور الثالث بشكل رتيب، تسمى العصور ؛ تقل الأحجام بقانون قريب من ~ ر . عند الانتقال من عصر إلى آخر، ينقلب الاتجاه الذي تتناقص فيه المسافات بشكل رتيب من محور إلى آخر. يكتسب ترتيب هذه التحولات الصفة المقاربة لعملية عشوائية . نفس الترتيب العشوائي هو أيضًا سمة من سمات تناوب أطوال العصور المتتالية (حسب طول العصر، تفهم بي كي إل عدد حقبة كاسنر التي تحتوي عليها العصر، وليس الفاصل الزمني).

لكل حقبة تتوافق مع سلسلة من قيم المعامل u بدءًا من الأعظم، ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ومن خلال القيم ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ - 1، ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ - 2، ...، الوصول إلى الأصغر، ${\displaystyle u_{\min }^{(s)}}$ <1. ثم

${\displaystyle u_{\min }^{(s)}=x^{(s)},\ u_{\max }^{(s)}=k^{(s)}+x^{(s)},}$

(eq. 41)

أي أن k ^{( s)} = [ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ] حيث تعني الأقواس الجزء الكامل من القيمة. الرقم k ^{( s )} هو طول العصر، ويقاس بعدد فترات كاسنر التي تحتوي عليها تلك الحقبة للعصر القادم.

${\displaystyle u_{\max }^{(s+1)}={\frac {1}{x^{(s)}}},\ k^{(s+1)}=\left[{\frac {1}{x^{(s)}}}\right].}$

(eq. 42)

في السلسلة اللامحدودة من الأرقام u، التي تتكون من هذه القواعد، توجد قيم صغيرة متناهية الصغر (ولكن ليست صفرية أبدًا) x ^{( s )} وأطوال كبيرة بشكل غير محدود بالمقابل k ^{( s )} .

تصبح سلسلة العصر أكثر كثافة عند الاقتراب من t = 0. ومع ذلك، فإن المتغير الطبيعي لوصف المسار الزمني لهذا التطور ليس الوقت العالمي t، ولكن لوغاريتمه، ln t، والذي من خلاله يتم تمديد العملية الكاملة للوصول إلى التفرد إلى −∞.

حسب eq. 33، إحدى الوظائف أ، ب، ج، التي تمر بحد أقصى أثناء الانتقال بين فترات كاسنر، في ذروة الحد الأقصى لها هي

${\displaystyle a_{\max }={\sqrt {2\Lambda |p_{1}(u)|}}}$

(eq. 38)

حيث من المفترض أن _{الحد الأقصى} هو كبير مقارنة ب ₀ ج _0؛ في eq. 38 u هي قيمة المعلمة في حقبة كاسنر قبل الانتقال. يمكن أن نرى من هنا أن قمم الحدود القصوى المتتالية خلال كل عصر تنخفض تدريجياً. في الواقع، في حقبة كاسنر التالية، يكون لهذه المعلمة القيمة u ' = u - 1، ويتم استبدال Λ وفقًا لـ eq. 36 مع Λ '= Λ (1-2 | ص ₁ ( ش ) |). لذلك، فإن نسبة 2 حد أقصى متتالي هي

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};}$

وأخيراً

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}={\sqrt {\frac {u-1}{u}}}\equiv {\sqrt {\frac {u'}{u}}}.}$

(eq. 39)

ما سبق حلول لمعادلات أينشتاين في الفراغ. أما بالنسبة لصيغة كاسنر الخالصة، فإن الأمر لا يغير الخصائص النوعية لهذا الحل ويمكن كتابته فيه بغض النظر عن رد فعله على الميدان. ومع ذلك، إذا فعل المرء هذا للنموذج قيد المناقشة، والذي يُفهم على أنه حل دقيق لمعادلات أينشتاين، فإن الصورة الناتجة لتطور المادة لن يكون لها طابع عام وستكون محددة للتماثل العالي الوشيك للنموذج الحالي. رياضياً، ترتبط هذه الخصوصية بحقيقة أنه بالنسبة للهندسة الفضائية المتجانسة التي تمت مناقشتها هنا، فإن مكونات موتر Ricci ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ هي أصفار متطابقة، وبالتالي فإن معادلات أينشتاين لن تسمح بحركة المادة (التي تعطي إجهادًا غير صفريًا لمكونات موتر الطاقة والزخم ${\displaystyle T_{\alpha }^{0}}$ ). بمعنى آخر، يجب أن يكون الإطار المتزامن أيضًا متحركًا بشكل مشترك فيما يتعلق بالمادة. إذا كان أحد البدائل في eq. 19 u _α = 0، u ⁰ = 1، يصبح ε ~ ( abc ) ^−4/3 ~ t ^−4/3 . يتم تجنب هذه الصعوبة إذا قام المرء بتضمين المصطلحات الرئيسية للمقياس المحدد (عند t → 0) فقط في النموذج وكتب فيه مسألة بتوزيع أولي تعسفي للكثافات والسرعات. ثم يتم تحديد مسار تطور المادة من خلال قوانينها العامة للحركة eq. 17 eq. 18 ينتج عنه eq. 21 . خلال كل حقبة كاسنر، تزداد الكثافة حسب القانون

${\displaystyle \varepsilon =t^{-2(1-p_{3})},}$

(eq. 40)

حيث p ₃، على النحو الوارد أعلاه، أكبر الأعداد ص ₁، ص ₂، ص ₃ . تزداد كثافة المادة بشكل رتيب خلال كل تطور نحو التفرد.

تتوافق قيم u الكبيرة جدًا مع قوى كاسنر

${\displaystyle p_{1}\approx -{\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx {\frac {1}{u}},\ p_{3}\approx 1-{\frac {1}{u^{2}}},}$

(eq. 43)

التي هي قريبة من القيم (0، 0، 1). قيمتان قريبتان من الصفر، قريبتان أيضًا من بعضهما البعض، وبالتالي فإن التغييرات في نوعين من الأنواع الثلاثة "للاضطرابات" (المصطلحات مع λ و μ و في الجوانب اليمنى من eq. 26 ) هي أيضا متشابهة جدا. إذا كانت هذه المصطلحات في بداية مثل هذا العصر الطويل قريبة جدًا من القيم المطلقة في لحظة الانتقال بين حقبتين من عهود كاسنر (أو تم إجراؤها بشكل مصطنع من خلال تعيين الشروط الأولية)، فستظل قريبة خلال الجزء الأكبر من طول الحقبة. في هذه الحالة (وتسمى حالة التذبذبات الصغيرة)، يصبح التحليل القائم على عمل نوع واحد من الاضطرابات غير صحيح ؛ يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار التأثير المتزامن لنوعين من الاضطراب.

اثنان من الاضطرابات

ضع في اعتبارك حقبة طويلة، حيث خضعت اثنتان من الوظائف أ، ب، ج (فليكن أ و ب ) لتذبذبات صغيرة بينما تتناقص الوظيفة الثالثة (ج ) بشكل رتيب. سرعان ما تصبح الوظيفة الأخيرة صغيرة ؛ ضع في اعتبارك الحل فقط في المنطقة حيث يمكن للمرء أن يتجاهل c مقارنةً بـ a و b . يتم إجراء الحسابات أولاً للنموذج الفضائي من النوع IX عن طريق الاستبدال وفقًا لذلك λ = μ = ν = 1.[43]

بعد تجاهل الوظيفة c، فإن المعادلتين eq. 26 إعطاء

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }=0,\,}$

(eq. 44)

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }-\beta _{\tau \tau }=e^{4\beta }-e^{4\alpha },\,}$

(eq. 45)

eq. 28 كمعادلة ثالثة، والتي تأخذ الشكل

${\displaystyle \gamma _{\tau \tau }\left(\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }\right)=-\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+{\frac {1}{4}}\left(e^{2\alpha }-e^{2\beta }\right)^{2}.}$

(eq. 46)

حل eq. 44 مكتوب في النموذج

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

حيث α ₀، ξ ₀ هي ثوابت موجبة، و ₀ هي الحد الأعلى لعصر المتغير τ. من الملائم تقديم متغير جديد (بدلاً من τ)

${\displaystyle \xi =\xi _{0}\exp \left[{\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)\right].}$

(eq. 47)

ثم

${\displaystyle \alpha +\beta =\ln {\frac {\xi }{\xi _{0}}}+2\ln a_{0}.}$

(eq. 48)

المعادلات eq. 45 eq. 46 يتم تحويلها عن طريق إدخال المتغير χ = α - β:

${\displaystyle \chi _{\xi \xi }={\frac {\chi _{\xi }}{\xi }}+{\frac {1}{2}}\operatorname {sh} 2\chi =0,}$

(eq. 49)

${\displaystyle \gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\operatorname {ch} 2\chi -1\right).}$

(eq. 50)

انخفاض τ من τ ₀ إلى −∞ يتوافق مع انخفاض ξ من ξ ₀ إلى 0. يتم الحصول على العصر الطويل مع إغلاق a و b (أي مع صغير)، المدروس هنا، إذا كانت ξ ₀ كمية كبيرة جدًا. في الواقع، بشكل عام، حل eq. 49 في أول تقدير تقريبي بمقدار 1 / هو

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta ={\frac {2A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right),}$

(eq. 51)

حيث A ثابت ؛ المضاعف ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$ يجعل χ كمية صغيرة بحيث يمكن استبدالها eq. 49 بواسطة sh 2χ ≈ 2χ. [note 13]

من eq. 50 واحد يحصل

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

بعد تحديد α و من eq. 48 eq. 51 وتوسيع ه ^α و ^β الإلكترونية في سلسلة وفقا لتقريب أعلاه، واحد يحصل أخيرا: [note 14]

${\displaystyle {\begin{cases}a\\b\end{cases}}=a_{0}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi _{0}}}}\left[1\pm {\frac {A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right)\right],}$

(eq. 52)

${\displaystyle c=c_{0}e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.}$

(eq. 53)

يتم الحصول على العلاقة بين المتغير ξ والوقت t من خلال تكامل التعريف dt = abc d τ الذي يعطي

${\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}=e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.}$

(eq. 54)

يجب أن يكون الثابت c ₀ (قيمة с عند ξ = ξ ₀ ) الآن c ₀ ${\displaystyle \ll }$ α ₀ ·

دعونا ننظر الآن في المجال ξ ${\displaystyle \ll }$ 1. هنا المصطلحات الرئيسية في حل eq. 49 هم:

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

حيث k ثابت في النطاق - 1 < ك <1 ؛ يضمن هذا الشرط أن المصطلح الأخير في eq. 49 صغير (يحتوي sh 2χ على ξ ^{2 ك} و ξ ^{−2 ك} ). ثم، بعد تحديد α و و t، يحصل المرء على

${\displaystyle a\sim \xi ^{\frac {1+k}{2}},\ b\sim \xi ^{\frac {1-k}{2}},\ c\sim \xi ^{-{\frac {1-k^{2}}{4}}},\ t\sim \xi ^{\frac {3+k^{2}}{4}}.}$

(eq. 55)

هذا مرة أخرى هو وضع كاسنر مع وجود قوة t السالبة في الوظيفة c ( t ). [note 15]

الشكل 5. نوع بيانكي من النوع الثامن (مفتوح) يمر بديناميات بي كي إل (مكسماستر) الفوضوية القريبة من التفرد وفقًا للقواعد eq. 35 مع الأولي ${\displaystyle u={\sqrt {13}}}$ . التفرد في قرصة وسط السطح الزائد.

هذه النتائج تصور تطورًا مشابهًا نوعيًا لذلك الموصوف أعلاه. خلال فترة زمنية طويلة تتوافق مع قيمة ξ متناقصة كبيرة، تتأرجح الوظيفتان a و b، وتبقى قريبة من حيث الحجم ${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$ ؛ في نفس الوقت، كلتا الوظيفتين أ و ب ببطء ( ${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$ ) ينقص. فترة التذبذب ثابتة بالمتغير ξ : Δξ = 2π (أو، وهي نفسها، مع فترة ثابتة حسب الوقت اللوغاريتمي: Δ ln t = 2π Α ² ). الوظيفة الثالثة، c، تتناقص بشكل رتيب بقانون قريب من c = c ₀ t / t ₀ .

يستمر هذا التطور حتى ξ ≈1 والصيغ eq. 52 eq. 53 لم تعد قابلة للتطبيق. تقابل مدتها الزمنية تغيير t من t ₀ إلى القيمة t ₁، المرتبطة بـ ξ ₀ وفقًا لـ

${\displaystyle A^{2}\xi _{0}=\ln {\frac {t_{0}}{t_{1}}}.}$

(eq. 56)

يمكن تقديم العلاقة بين ξ و t خلال هذا الوقت في النموذج

${\displaystyle {\frac {\xi }{\xi _{0}}}={\frac {\ln {\tfrac {t}{t_{1}}}}{\ln {\tfrac {t_{0}}{t_{1}}}}}.}$

(eq. 57)

بعد ذلك، كما رأينا من eq. 55، تبدأ دالة التناقص c في الزيادة بينما تبدأ الدالتان a و b في الانخفاض. تستمر حقبة كاسنر هذه حتى الشروط ج ² / أ ² ب ² في eq. 22 يصبح eq. 22 ~ t ² وتبدأ سلسلة التذبذبات التالية. يتم الحصول على قانون تغيير الكثافة خلال الحقبة الطويلة قيد المناقشة عن طريق استبدال eq. 52 في eq. 20 :

${\displaystyle \varepsilon \sim \left({\frac {\xi _{0}}{\xi }}\right)^{2}.}$

(eq. 58)

عندما تتغير من ξ ₀ إلى ξ ≈1، تزداد الكثافة ${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$ مرات. يجب التأكيد على أنه على الرغم من أن الوظيفة c ( t ) تتغير بواسطة قانون، بالقرب من c ~ t، فإن المقياس المتري eq. 52 لا يتوافق مع مقياس كاسنر بقوى (0، 0، 1). الأخير يتوافق مع الحل الدقيق الذي وجده Taub [47] والذي يسمح به المعادلات. 26 - 27 وفي أي

${\displaystyle a^{2}=b^{2}={\frac {p}{2}}{\frac {\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}{\mathrm {ch} ^{2}(p\tau +\delta _{2})}},\;c^{2}={\frac {2p}{\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}},}$

(eq. 59)

حيث p، δ ₁، δ ₂ ثابتة. في المنطقة المقاربة τ → −∞، يمكن للمرء الحصول من هنا a = b = مقدار ثابت، c = مقدار ثابت. ر بعد الاستبدال е ^рτ = t . في هذا المقياس، تكون التفرد عند t = 0 غير مادية.

دعونا الآن نصف الدراسة المماثلة لنموذج النوع الثامن، مع استبدال المعادلات. eqs. 26 - 28 λ = -1، μ = ν = 1.[44] إذا خلال حقبة طويلة، وظيفة خفض مفردة النغمة هي، لا شيء يتغير في التحليل السابق: تجاهل ² على الجانب الأيمن من المعادلات 26 و 28، ويعود إلى نفس المعادلات 49 و 50 (مع تدوين تغير). ومع ذلك، تحدث بعض التغييرات إذا كانت الوظيفة المتناقصة بشكل رتيب هي b أو c ؛ فليكن c. كما كان من قبل، لدى المرء معادلة 49 بنفس الرموز، وبالتالي، التعابير السابقة eq. 52 للوظائف a (ξ) و b (ξ)، ولكن تم استبدال 50

${\displaystyle \gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\mathrm {ch} 2\chi +1\right).}$

(eq. 60)

يصبح المصطلح الرئيسي بشكل عام ξ الآن

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

لذلك

${\displaystyle {\frac {c}{c_{0}}}={\frac {t}{t_{0}}}=e^{-{\frac {1}{8}}\left(\xi _{0}^{2}-\xi ^{2}\right)}.}$

(eq. 61)

قيمة c كدالة للوقت t مرة أخرى c = c ₀ t / t ₀ لكن اعتماد الوقت على ξ يتغير. يعتمد طول الحقبة الطويلة على ξ ₀ وفقًا لـ

${\displaystyle \xi _{0}={\sqrt {8\ln {\frac {t}{t_{0}}}}}.}$

(eq. 62)

من ناحية أخرى، تحدد القيمة ξ ₀ عدد التذبذبات للوظائف a و b خلال حقبة (تساوي ξ ₀ / 2π). بالنظر إلى طول العصر في الوقت اللوغاريتمي (أي مع النسبة المعطاة t ₀ / t ₁ )، سيكون عدد التذبذبات للنوع الثامن، بشكل عام، أقل من النوع IX. بالنسبة لفترة التذبذبات، نحصل الآن على Δ ln t = πξ / 2 ؛ على عكس النوع التاسع، فإن الفترة ليست ثابتة طوال العصر الطويل، وتتناقص ببطء مع ξ.

مجال الوقت الصغير

تنتهك العصور الطويلة المسار "المنتظم" للتطور مما يجعل من الصعب دراسة تطور الفترات الزمنية التي تمتد عبر عدة عصور. ومع ذلك، يمكن إثبات أن مثل هذه الحالات "غير الطبيعية" تظهر في التطور التلقائي للنموذج إلى نقطة مفردة في الأوقات الصغيرة المتقاربة t على مسافات كبيرة بما يكفي من نقطة البداية ذات الظروف الأولية التعسفية. حتى في العصور الطويلة، تظل كلتا الوظيفتين المتذبذبتين أثناء التحولات بين عهود كاسنر مختلفة تمامًا لدرجة أن الانتقال يحدث تحت تأثير اضطراب واحد فقط. جميع النتائج في هذا القسم تتعلق بنفس القدر بنماذج من النوعين الثامن والتاسع.[48]

خلال كل حقبة كاسنر abc = Λ t، أي α + β + γ = ln Λ + ln t . عند التغيير من حقبة واحدة (بقيمة معينة للمعامل u ) إلى الحقبة التالية، يتم ضرب الثابت Λ بـ 1 + 2 p ₁ = (1 - u + u ² ) / (1 + u + u ² ) < 1. وبالتالي يحدث انخفاض منهجي في. لكن من الضروري أن تكون القيمة المتوسطة (فيما يتعلق بأطوال k للعصور) للتغير الكامل لـ ln خلال حقبة ما محدودة. في الواقع، يمكن أن يكون الاختلاف في متوسط القيمة ناتجًا فقط عن زيادة سريعة جدًا في هذا التباين مع زيادة k . للحصول على قيمة كبيرة للمعامل u، ln (1 + 2 p ₁ ) ≈ −2 / u . بالنسبة إلى k كبير، تكون القيمة القصوى u ^(max) = k + x ≈ k. ومن ثم فإن الاختلاف الكامل لـ ln Λ خلال حقبة ما يتم الحصول عليه من خلال مجموع النموذج

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

فقط مع المصطلحات التي تتوافق مع القيم الكبيرة لـ u مكتوبة. عندما يزيد k، يزداد هذا المجموع بمقدار ln k . لكن احتمالية ظهور حقبة ذات طول كبير k تقل بمقدار 1 / k ₂ وفقًا لـ eq. 76 ؛ ومن ثم فإن القيمة المتوسطة للمبلغ أعلاه محدودة. وبالتالي، فإن الاختلاف المنهجي للكمية ln Λ على مدى عدد كبير من العصور سيكون متناسبًا مع هذا الرقم. ولكن يتم رؤيته في eq. 85 أنه مع t → 0، يزيد الرقم s فقط مثل ln | ln t |. وبالتالي في الحد المقارب لـ t صغير بشكل تعسفي، يمكن بالفعل إهمال المصطلح ln Λ بالمقارنة مع ln t . في هذا التقريب [note 16]

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-\Omega ,\,}$

(eq. 63)

حيث Ω تشير إلى "الوقت اللوغاريتمي"

${\displaystyle \Omega =-\ln t.\,}$

(eq. 64)

ويمكن اعتبار عملية تحولات الحقبة على أنها سلسلة من الومضات الزمنية القصيرة. تخضع مقادير الحد الأقصى لوظائف المقياس المتذبذب أيضًا لتغير منهجي. من eq. 39 أجل u ≫ 1 يتبع ذلك ${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$ . بالطريقة نفسها التي تم إجراؤها أعلاه للكمية ln Λ، يمكن للمرء بالتالي أن يستنتج أن متوسط الانخفاض في ارتفاع الحد الأقصى خلال حقبة ما محدود وأن الانخفاض الكلي على مدى عدد كبير من العصور يزداد مع t → 0 فقط مثل ln Ω. في الوقت نفسه، يتم تخفيض الحد الأدنى، وبنفس الطريقة، زيادة سعة التذبذبات، ( eq. 77 ) بما يتناسب مع Ω. بالتوافق مع التقريب المعتمد، يتم إهمال خفض الحد الأقصى بالمقارنة مع زيادة السعات بحيث تكون α _max = 0، β _max = 0، γ _max = 0 للقيم القصوى لجميع الوظائف المتذبذبة والكميات α،، γ قم بتشغيل فقط من خلال القيم السالبة التي ترتبط ببعضها البعض في كل لحظة من الوقت بواسطة العلاقة eq. 63 .

الشكل 4. تباين α و و كوظائف للوقت اللوغاريتمي Ω خلال حقبة واحدة. تشير خطوط الشرطة العمودية إلى تعديلات عهود كاسنر، المقابلة للمقاطع الخطية للمنحنيات. في الجزء العلوي يشار إلى قيم المعلمة u التي تحدد أسس كاسنر. تكون الفترة الأخيرة أطول إذا كانت س صغيرة. في الحقبة الأولى من الحقبة التالية، تبدأ في الزيادة وتصبح α وظيفة متناقصة بشكل رتيب.

بالنظر إلى مثل هذا التغيير الفوري للعصور، يتم تجاهل الفترات الانتقالية على أنها صغيرة مقارنة بطول الحقبة ؛ تم استيفاء هذا الشرط في الواقع. [note 17] يتطلب استبدال α و β و الحد الأقصى بأصفار أن تكون الكميات ln (| p ₁ | Λ) صغيرة بالمقارنة مع اتساع تذبذبات الوظائف المعنية. كما ذكر أعلاه، أثناء الانتقال بين العصور | ص ₁ | يمكن أن تصبح القيم صغيرة جدًا بينما لا يرتبط حجمها واحتمال حدوثها بمدى التذبذب في اللحظة المعنية. لذلك، من حيث المبدأ، من الممكن الوصول إلى هذا الحجم الصغير | ص ₁ | القيم التي تم انتهاك الشرط أعلاه (صفر حد أقصى). يمكن أن يؤدي هذا الانخفاض الحاد في α _max إلى مواقف خاصة مختلفة يكون فيها الانتقال بين فترات كاسنر بواسطة القاعدة eq. 37 غير صحيح (بما في ذلك الحالات المذكورة أعلاه ). هذه المواقف "الخطيرة" يمكن أن تخرق القوانين المستخدمة في التحليل الإحصائي أدناه. ومع ذلك، وكما ذكرنا، فإن احتمال مثل هذه الانحرافات يتقارب بشكل مقارب إلى الصفر ؛ سيتم مناقشة هذه المسألة أدناه.

ضع في اعتبارك حقبة تحتوي على فترات k كاسنر مع وجود معلمة u تعمل عبر القيم

${\displaystyle u_{n}=k+x-1-n,\quad n=0,1,\cdots ,k-1,}$

(eq. 65)

ولنفترض أن α و هما الوظيفتان المتذبذبتان خلال هذا العصر (الشكل 4). [note 18] اللحظات الأولية لفترات كاسنر ذات المعلمات u _n هي _n . في كل لحظة أولية، تكون إحدى القيمتين α أو صفرًا، بينما تحتوي الأخرى على حد أدنى. القيم α أو في الحدود الدنيا المتتالية، أي في اللحظات _n

${\displaystyle \alpha _{n}=-\delta _{n}\Omega _{n}\,}$

(eq. 66)

(لا يميز الحدود الدنيا α و β). يمكن للقيم δ _n التي تقيس تلك الحدود الدنيا في _{وحدات n ذات الصلة} أن تعمل بين 0 و 1. الوظيفة γ تتناقص بشكل رتيب خلال هذا العصر ؛ حسب eq. 63 قيمتها باللحظة Ω _n هي

${\displaystyle \gamma _{n}=-\Omega _{n}(1-\delta _{n}).\,}$

(eq. 67)

خلال الحقبة التي تبدأ من اللحظة Ω _n وتنتهي في اللحظة Ω _{n +1} تزيد إحدى الوظائف α أو β من −δ _n Ω _n إلى الصفر بينما تقل الأخرى من 0 إلى −δ _{n +1} Ω _{n +1 بالخطي} القوانين، على التوالي:

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$ و ${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

مما أدى إلى علاقة التكرار

${\displaystyle \delta _{n+1}\Omega _{n+1}={\frac {1+u_{n}}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {1+u_{0}}{u_{n}}}\delta _{0}\Omega _{0}}$

(eq. 68)

وطول العصر اللوغاريتمي

${\displaystyle \Delta _{n+1}\equiv \Omega _{n+1}-\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})(1+u_{n-1})}{f(u_{n-1})u_{n}}}\Delta _{n},}$

(eq. 69)

حيث، باختصار، f ( u ) = 1 + u + u ² . يتم الحصول على مجموع أطوال الحقبة n بواسطة الصيغة

${\displaystyle \Omega _{n}-\Omega _{0}=\left[n(n-1)+{\frac {nf(u_{n-1})}{u_{n-1}}}\right]\delta _{0}\Omega _{0}.}$

(eq. 70)

يمكن رؤيته من eq. 68 أن | α _{n + 1} | > | α _n |، أي، تزداد اتساع التذبذب للوظائف α و خلال العصر بأكمله على الرغم من أن العوامل δ _n قد تكون صغيرة. إذا كان الحد الأدنى في بداية العصر عميقًا، فلن يصبح الحد الأدنى التالي أقل ضحالة ؛ بمعنى آخر، البقايا | α - β | في لحظة الانتقال بين عهود كاسنر لا تزال كبيرة. لا يعتمد هذا التأكيد على طول العصر k لأن الانتقالات بين العصور يتم تحديدها من خلال القاعدة المشتركة eq. 37 أيضا لعصور طويلة.

سعة التذبذب الأخيرة للوظائف α أو في عصر معين مرتبطة بسعة التذبذب الأول بالعلاقة | α _{k −1} | = | α ₀ | ( ك + س ) / (1 + س ). حتى في ك الصورة صغيرة مثل عدة وحدات س يمكن تجاهلها في المقارنة إلى k بحيث زيادة α وسعة التذبذب بيتا تصبح متناسبة مع طول الحقبة. لوظائف 'وه' = ^α و ب ه = ^β يعني ذلك أنه إذا كانت السعة من التذبذبات في بداية عصر كان A _0، في نهاية هذا العصر السعة ستصبح ${\displaystyle A_{0}^{k/(1+x)}}$ .

كما يزداد طول فترات كاسنر (في الوقت اللوغاريتمي) داخل عصر معين ؛ من السهل حساب من eq. 69 أن Δ _{ن +1} > Δ _ن . [note 19] الطول الإجمالي للعصر هو

${\displaystyle \Omega _{0}^{\prime }-\Omega _{0}\equiv \Omega _{k}-\Omega _{0}=k\left(k+x+{\frac {1}{x}}\right)\delta _{0}\Omega _{0}}$

(eq. 71)

(المصطلح مع 1 / x ينشأ من الحقبة الأخيرة، k -th، التي يكون طولها كبيرًا عند x الصغيرة ؛ راجع. الصورة 2). لحظة Ω _ن عندما ك -th الحقبة من نهايات عصر معين هو في نفس الوقت لحظة Ω _'0 من بداية الحقبة المقبلة. في حقبة كاسنر الأولى من العصر الجديد، كانت الدالة γ هي الأولى التي ارتفعت من أدنى قيمة γ _ك = - Ω _ك (1 - δ _ك ) التي وصلت إليها في العصر السابق ؛ تلعب هذه القيمة دور سعة البداية δ ' ₀ Ω' ₀ لسلسلة التذبذبات الجديدة. من السهل الحصول على ما يلي:

${\displaystyle \delta _{0}^{\prime }\Omega _{0}^{\prime }=\left(\delta _{0}^{-1}+k^{2}+kx-1\right)\delta _{0}\Omega _{0}.}$

(eq. 72)

من الواضح أن δ ' ₀ Ω' ₀ > ₀ Ω ₀ . حتى في ك يست كبيرة جدا في زيادة السعة مهمة جدا: وظيفة ج = ه ^γ يبدأ ذبذبة من السعة ${\displaystyle A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$ . يتم ترك المسألة المتعلقة بالحالات "الخطيرة" المذكورة أعلاه من الانخفاض الحاد في حد التذبذب العلوي جانبًا في الوقت الحالي.

حسب eq. 40 الزيادة في كثافة المادة خلال العهود الأولى (ك - 1) تعطى بواسطة الصيغة

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.}$

حتى آخر k لعصر معين، في u = x <1 أعظم قوة هو P ₂ (x) (لا P ₃ (x)). لذلك، من أجل زيادة الكثافة خلال العصر بأكمله، يحصل المرء

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{k}}{\varepsilon _{0}}}\right)\equiv \ln \left({\frac {\varepsilon _{0}'}{\varepsilon _{0}}}\right)=2(k-1+x)\delta _{0}\Omega _{0}.}$

(eq. 73)

لذلك، حتى مع عدم وجود قيم k كبيرة جدًا، ${\displaystyle \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$ . خلال العصر التالي (بطول k ') ستزداد الكثافة بشكل أسرع بسبب زيادة سعة البداية A ₀ ': ${\displaystyle \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$، إلخ. توضح هذه الصيغ الزيادة الحادة في كثافة المادة.