تربيع القطع المكافئ

الفكرة الرئيسية للإثبات هي تقسيم القطعة المستقيمة المكافئية لعدد لا نهائي من المثلثات، كما هو موضح في الشكل. كل من هذه المثلثات مرسومة داخل قطعة مكافئية بنفس الطريقة المرسوم بها المثلث الأزرق داخل القطعة المكافئية الكبيرة.

في النظريات من 18 إلى 21 ، أثبت أرخميدس أن مساحة كل مثلث أخضر تساوي ثُمن مساحة المثلث الأزرق. من وجهة نظر حديثة، هذا لأن المثلث الأخضر له نصف عرض المثلث الأزرق وربع ارتفاع المثلث الأزرق:[7]

بالتبعية، مساحة كل مثلث أصفر هي ثُمن مساحة المثلث الأخضر، ومساحة كل مثلث أحمر هي ثُمن مساحة المثلث الأصفر، وهكذا باستخدام طريقة الاستنفاد، نصل لصيغة مساحة القطعة المكافئية عن طريق

${\displaystyle {\text{Area}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .}$

هنا T (الحد الأول) تمثل مساحة المثلث الأزرق الكبير، ويمثل الحد الثاني المساحة الكلية للمثلثين الأخضرين، ويمثل الحد الثالث المساحة الكلية للمثلثات الأربعة الصفراء، الخ. بتبسيط الصيغة نصل إلى

${\displaystyle {\text{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.}$

برهان أرخميدس على أن 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

لإكمال البرهان، أظهر أرخميدس أن

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.}$

الصيغة أعلاه هي متسلسلة هندسية - كل حد يمثل ربع الحد السابق عليه. في الرياضيات الحديثة، هذه الصيغة هي حالة خاصة لصيغة مجموع المتسلسلة الهندسية.

توصل أرخميدس للمجموع بطريقة هندسية صرفة، [8] كما موضح في الصورة. وفيها نرى الوحدة المربعة مقسمة إلى ما لا نهاية من مربعات أصغر. حيث مساحة كل مربع أرجواني هي ربع مساحة المربع السابق عليه، ومجموع المتسلسلة هو إجمالي مساحة المربعات الأرجوانية

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .}$

ومع ذلك، فالمربعات الأرجوانية تتطابق مع أي مجموعة من المربعات الصفراء، وبالتالي فمجموع المربعات الأرجوانية مع المربعات الصفراء يغطي ثلث مساحة مربع الوحدة. ويترتب على ذلك أن السلسلة أعلاه مجموعها يؤؤل إلى 4/3 (حيث 1 + 1/3 = 4/3).