تحليل مقارب

في التحليل الرياضي ، يعد التحليل المقارب ، المعروف أيضًا باسم التقارب ، طريقة لوصف سلوك النهايات.

كتوضيح، افترض أننا مهتمون بخصائص الدالة $f (n)$ بحيث $n$ هو عدد كبير جدًا. إذا كانت $f (n) = n 2 + 3 n$ إذاً كلما كَبُرت $n$ ، $3 n$ تصبح ضئيلة مقارنة بــ $n 2$ . يُقال أن الدالة $f (n)$ «مكافئة بشكل مقارب لـ $n 2$ ، عندما $n \to \infty$ ». غالبًا ما يتم كتابة هذا على كشكل $f (n) ~ n 2$ ، والذي يُقرأ « $f (n)$ مقارب لـ $n 2$ ».

كمثال على نتيجة مقاربة مهمة نذكر مبرهنة الأعداد الأولية . لتكن $π(x)$ هي الدالة المعدة للأعداد الأولية، أي أن $π(x)$ هي عدد الأعداد الأولية التي تقل عن $x$ أو تساويها. ثم تنص المبرهنة على الآتي :

$.\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$

تعريف

بالنظر إلى الدالتين $f (x)$ و $g (x)$ ، نحدد العلاقة الثنائية

$f(x)\sim g(x)$ عندما تؤول $x$ إلى $\infty$ .

إذا وفقط إذا (دي بروين 1981)

$.\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$

الرمز $~$ هو تلدة . العلاقة هي علاقة تكافؤ على مجموعة دوال $x$ ؛ يقال أن الدالتين $f$ و $g$ مكافئتان تقاربيًا (أو بشكل مقارب) . يمكن أن يكون مجال $f$ و $g$ أي مجموعة بشرط أن تكون فيها النهاية معرفة: على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة والأعداد الصحيحة الموجبة.[1][2]

خصائص

إذا كانت $f\sim g$ و $a\sim b$ ، ففي ظل بعض الظروف، الآتي صحيح.

$f^{r}\sim g^{r}$ ، لكل $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

تسمح هذه الخصائص بتبادل الدوال المتكافئة تقاربيًا بحرية في العديد من التعبيرات الجبرية.

أمثلة على الصيغ المقاربة

عاملي

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

- هذا الأخير هو تقريب ستيرلينغ.

دالة التجزئة

لعدد صحيح موجب

n

، تعطي دالة التجزئة

p(n)

عدد طرق كتابة العدد الصحيح

n

كمجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة.[3]

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}

ملاحظات

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics ‏ (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4
Estrada & Kanwal (2002, §1.2)
Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics, مطبعة جامعة كامبريدج نسخة محفوظة 22 يوليو 2021 على موقع واي باك مشين.

مراجع

Balser، W. (1994)، From Divergent Power Series To Analytic Functions، شبغنكا، ISBN:9783540485940، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
de Bruijn، N. G. (1981)، Asymptotic Methods in Analysis، Dover Publications، ISBN:9780486642215، مؤرشف من الأصل في 2023-01-17
Estrada، R.؛ Kanwal، R. P. (2002)، A Distributional Approach to Asymptotics، Birkhäuser، ISBN:9780817681302، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
Miller، P. D. (2006)، Applied Asymptotic Analysis، جمعية الرياضيات الأمريكية، ISBN:9780821840788، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
Murray، J. D. (1984)، Asymptotic Analysis، Springer، ISBN:9781461211228، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
Paris، R. B.؛ Kaminsky، D. (2001)، Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals، مطبعة جامعة كامبريدج، مؤرشف من الأصل في 2022-04-13

وصلات خارجية

Asymptotic Analysis —home page of the journal, which is published by IOS Press
A paper on time series analysis using asymptotic distribution

بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics ‏ (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4

[2] Estrada & Kanwal (2002, §1.2)

[Howison-3] Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics, مطبعة جامعة كامبريدج نسخة محفوظة 22 يوليو 2021 على موقع واي باك مشين.