التقطيع

ان التقييم العددي لل  ${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}$  هو قليلا أكثر خداعا بسبب التكامل الأسي للمصفوفة. ولكن على الرغم من ذلك يمكن حسابها أولا بإنشاء المصفوفة ثم الحساب الأسي لها بعد ذلك . (فان لون، 1978).  

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{T}\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{T}\end{bmatrix}}.}$

بعد ذلك عملية تقطيع الضوضاء يمكن تقييمها بضرب مقلوب الجزء السفلي الأيمن من المصفوفة G في الجزء العلوي الأيمن من المصفوفة G

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{T})^{T}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

بداية بالنموذج المتصل 

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

نعرف بأن المصفوفة الأسية هي :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

ومع ضرب النموذج مسبقا نجد :

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

التي نعرفها بأنها

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

ومع التكامل نجد..

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

التي هي حل تحليلي للنموذج المتصل 

والان يمكننا تقطيع المصطلح الذي بالأعلي. فنفترض ان u هي ثابتة أثناء كل خطوة زمنية.  :${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

يمكننا ان نلاحظ المصطلحات ذات الأقواس مثل ${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$ ،  والمصطلح الآخر يمكننا تبسيطه بالتعويض ${\displaystyle v=kT+T-\tau }$. و نفترض أيضا أن u هو ثابت طوال التكامل وبالتالي ينتج الاتي : ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}$. 

التي هي حل دقيق لمسألة التقطيع 

ان عملية التقطيع الدقيقة أحيانا قد تصبح معقدة بسبب احتوائها علي المصفوفات الأسية وعمليات التكامل الثقيلة. وأن نقوم بحساب التقريبات للنموذج المقطع هو أكثر سهولة بناءا علي الخطوات الزمنية الصغيرة ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$ . وبذلك يصبح الحل التقريبي :

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}$

هناك بعض صور التقريبات الأخرى المحتملة ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$ and ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$ . كل منهما يحتوي على صفات استقرار مختلفة . والمصطلح الأخير معروف باسم التحويل الثنائي الخطي أو تحويل تستن وهو يحتفظ بصفات الثبات لنظام.