إثبات أن عدد أويلر غير كسري

كتب أويلر أول برهان على لا كسرية العدد e في عام 1737، ولكن النص لم ينشر إلا سبع سنوات بعد ذلك. كتب من أجل ذلك e كسرا مستمرا بسيطا.

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].}$

البرهان الأكثر شهرة على لا كسرية العدد e هو البرهان الذي جاء به جوزيف فورييه. هو برهان بالخُلف، يعتمد على المتساوية التالية:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot }$

${\displaystyle 2=1+{\tfrac {1}{1!}}<e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots <1+\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots \right)=3.}$

${\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).}$

${\displaystyle x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.}$

• عدد متسام بما في ذلك البرهان على أن e عدد متسام
• مبرهنة ليندمان-ويرستراس

• بوابة رياضيات