مشتق (رياضيات)

العدد المُشتَقّ[1] (بالإنجليزية: Derivative)‏ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ. يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى (f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

${\frac {dy}{dx}}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

المنحنى معبر بالأسود، والمستقيم المماس له معبر بالأحمر، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، تسمى بالعدد المشتق

التاريخ

يعود تاريخ الحساب متناهي الصغر بشكل عام إلى العصور القديمة، ويرتبط بالرياضيين إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس،[2] حيث اكتشفاه في القرن السابع عشر. ومع ذلك نجد أن هذا النوع من الحساب بدأه علماء رياضيات سابقين: أرخميدس وبيير دي فيرما، وخاصة إسحاق بارو.[3]

رمز الاشتقاق

مشتقة الدالة

f(x)=x\cdot \sin(x^{2})+1

عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

صيغة لايبنتز

{\frac {{\mathrm {d} }f}{{\mathrm {d} }x}}

،والتي تكافئ الصيغة

{\frac {{\mathrm {d} }\left(f(x)\right)}{{\mathrm {d} }x}}

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

صيغة لاغرانج

واحدة من الترميزات الأكثر استعمالا في الرياضيات المعاصرة تعود إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج.

f'\left(x\right)

أو y'، و تُقرأ الأخيرة مشتقة y.

صيغة إسحاق نيوتن

{\dot {f}}(x)

أو

{\dot {y}}

،تستعمل خاصة في الفيزياء.

صيغة ليونهارد أويلر

D_{x}f(x)\;

قواعد حساب الدالة المشتقة

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة $f(x)=\,$	المشتقة $f'(x)=\,$	شرط الاشتقاق
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$ax\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$1 \over x\,\!$	$-{1 \over x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
${\sqrt {x}}\,\!$	${1 \over 2{\sqrt {x}}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{+}\bigcap \mathbb {R} ^{*}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {N} ^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$ax^{c}\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}\bigcap \mathbb {R} ^{+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos ^{2}(x)$ أو $1+\tan ^{2}(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi$ , $k\in \mathbb {Z}$
$\arccos(x)\,\!$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arcsin(x)\,\!$	${1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\sinh(x)\,\!$	$\cosh(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\cosh(x)\,\!$	$\sinh(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\arctan(x)\,\!$	${1 \over 1+x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$a^{x}\,\!$	$a^{x}\ln a\,\!$	$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$\ln \|x\|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$\exp {x}\,\!$	$\exp {x}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$

انظر أيضًا

أمثلة على الاشتقاق

مراجع

موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 170، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
Bos, H. J. M. (1 Mar 1974). "Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus". Archive for History of Exact Sciences (بالإنجليزية). 14 (1): 1–90. DOI:10.1007/BF00327456. ISSN:1432-0657. Archived from the original on 2020-03-13.
Émerand (1860). Biographie de Tarn-et-Garonne: études historiques et bibliographiques ... (بالفرنسية). Forestié neveu. Archived from the original on 2020-01-14.

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 170، OCLC:1369254291، QID:Q108593221

[2] Bos, H. J. M. (1 Mar 1974). "Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus". Archive for History of Exact Sciences (بالإنجليزية). 14 (1): 1–90. DOI:10.1007/BF00327456. ISSN:1432-0657. Archived from the original on 2020-03-13.

[3] Émerand (1860). Biographie de Tarn-et-Garonne: études historiques et bibliographiques ... (بالفرنسية). Forestié neveu. Archived from the original on 2020-01-14.

مواضيع التفاضل والتكامل
ما قبل حساب التفاضل والتكامل ^{[الإنجليزية]}	مبرهنة ذي الحدين دوال خطيَّة مُستمِرة مُقعَّرة العاملي فرق محدود المتغير الحر والمتغير المقيد تمثيل الدالة البياني ميل المستقيم راديان مبرهنة رول القاطع المماس
النهايات	صيغة غير مُحدَّدة نهاية دالة وحيدة الجانب نهاية متتالية درجة التقريب
حساب التفاضل	مُشتَق تفاضلي ^{[الإنجليزية]} معادلة تفاضلية مؤثر تفاضلي مبرهنة القيمة المتوسطة تدوين التفاضل ^{[الإنجليزية]} لايبنز نيوتن ^{[الإنجليزية]} قواعد التفاضل الخطيَّة الرفع إلى أُس السلسلة لوبيتال الضرب قاعدة لايبنيز العامة ناتج القسمة تقنيات أخرى الدوال العكسية اللوغاريتم المعدلات المرتبطة نقاط الثبات اختبار المشتق مبرهنة القيمة المُتَّطرفة النقاط الحدية تطبيقات أُخرى طريقة نيوتن لإيجاد الجذور سلسلة تايلور
حساب التكامل	المبرهنة الأساسية مُشتَق التكامل ثابت التكامل بالتجزئة بالتعويض مُثلثي أويلر ^{[الإنجليزية]} فايرشتراس ^{[الإنجليزية]} تربيعي ^{[الإنجليزية]} شبه المنحرف مُشتَق عكسي طول القوس الحجوم بالأقراص بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات	مشتق اتجاهي المؤثرات دوران تباعد تدرج لابلاس مبرهنات رئيسة التدرُّج التباعد غرين كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات	مبرهنة التباعد حساب المصفوفات حساب هندسي ياكوبية هيسية معامل لاغرانج تكاملات خط سطح حجم متعدد مشتق جزئي مواضيع مُتقدِّمة أشكال تفاضلية مشتق خارجي مبرهنة ستوكس المُعمَّمة حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل	متتالية حسابية هندسية ^{[الإنجليزية]} أنواع السلاسل متناوبة ذات حدين فورييه هندسية متناسقة قوى تايلور متداخلة اختبارات التقارب أبيل ^{[الإنجليزية]} السلاسل المتناوبة ^{[الإنجليزية]} كوشي للتكثيف ^{[الإنجليزية]} المقارنة المباشرة ^{[الإنجليزية]} دركليه التكامل ^{[الإنجليزية]} مقارنة النهايات ^{[الإنجليزية]} النسبة الأصل ^{[الإنجليزية]} الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة	أعداد برنولي ثابت أويلر دالة أسية لوغاريتم طبيعي تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل	شخصيات تايلور ماكلورين لايبنتس نيوتن أويلر مفاهيم تسوية ^{[الإنجليزية]} المتناهيات في الصغر التدفق قانون الاستمرارية ^{[الإنجليزية]} عمومية الجبر ^{[الإنجليزية]} كتب طريقة المبرهنات الميكانيكية طرق التدفق
قوائم	قواعد التفاضل تكاملات الدوال اللوغاريتمية الأسية المثلثية العكسية القواطع ^{[الإنجليزية]} المُكعَّبة ^{[الإنجليزية]} الزائدية العكسية الكسرية غير الكسرية النهايات
مواضيع متنوعة	الانحناء هندسة تفاضلية للمنحنيات للسطوح ^{[الإنجليزية]} صيغة أويلر وماكلورين بوق جبريل إثبات أن 22/7 أكبر من π مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى ^{[الإنجليزية]} مجسم شتاينميتز ^{[الإنجليزية]}
تصنيف • كومنز بوابة رياضيات • بوابة تحليل رياضي • بوابة هندسة رياضية

مواضيع التحليل الرياضي
ما قبل حساب التفاضل والتكامل	رسم بياني للدالة · دالة خطية · قاطع · ميل · مماس · تقعر · فرق محدود · راديان · عاملي · مبرهنة ثنائي الحدين · إكمال المربع · متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة
النهايات	نهاية دالة · نهاية متسلسلة · شكل غير محدد · جدول النهايات
حساب التفاضل	اشتقاق · ترميز نيوتن للتفاضل · ترميز لايبنتز للتفاضل · ترميز نقطي للتفاضل · اشتقاق ثابت · قاعدة المجموع في التفاضل · قاعدة العامل الثابت في التفاضل · خطية التفاضل · حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود · اشتقاق (أمثلة) · قاعدة السلسلة · قاعدة الجداء · قاعدة ناتج القسمة · دوال عكسية و تفاضلها · تفاضل ضمني · نقطة ثابتة · العظمى والصغرى · اختبار المشتقة الأولى · اختبار المشتقة الثانية · مبرهنة القيمة المتطرفة · معادلة تفاضلية · مؤثر تفاضلي · طريقة نيوتن · مبرهنة تايلور · قاعدة اوبيتال · قاعدة لايبنتز · مبرهنة القيمة المتوسطة · اشتقاق لوغاريتمي · تفاضل (رياضيات) · معدلات مرتبطة
حساب التكامل	اشتقاق عكسي · تكامل غير محدد · قاعدة المجموع في التكامل · قاعدة العامل الثابت في التكامل · خطية التكامل · ثابت إختياري في التكامل · المبرهنة الأساسية للتكامل · تكامل بالأجزاء · قاعدة المتسلسلة المعكوسة · تكامل بالتعويض · استبدال مثلثي · كسور جزئية في التكامل · قاعدة شبه المنحرف
دوال وأعداد خاصة	لوغاريتم طبيعي · إي (ثابت رياضي) · دالة أسية · تقريب ستيرلنج · أعداد بيرنولي
تكامل عددي	قائمة مواضيع التحليل العددي · طريقة المستطيل · قاعدة شبه المنحرف · قاعدة سمبسون · متطابقات نيوتن · تربيع غاوسي
قوائم وجداول	جدول الاشتقاقات · جدول الرموز الرياضية · قائمة التكاملات · قائمة بتكاملات التوابع المنطقة · قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة · قائمة بتكاملات التوابع المثلثية · قائمة بتكاملات التوابع الأسية · قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية · قائمة بتكاملات التوابع القوسية · قائمة بتكاملات التوابع المساحية
متغيرات متعددة	اشتقاق جزئي · تكامل بالأقراص · بوق جبريل · مصفوفة جاكوبي · مصفوفة هسه · انحناء · مبرهنة غرين · نظرية الانحراف · نظرية ستوكس
متسلسلات	متسلسلة · متسلسلة تايلور، متسلسلة ماكلورين · متسلسلة فورييه · صيغة أويلر-ماكلورين
حساب التفاضل والتكامل غير القياسي	حساب التفاضل والتكامل غير القياسي · متناهي الصغر
تاريخ التفاضل والتكامل	عدد لامتناهي · غوتفريد لايبنتز · إسحاق نيوتن · طريقة التدفقات · حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر · ساقية تايلور · كولين ماكلورين · ليونهارت أويلر