استيفاء خطي ثنائي

أولًا نقومُ بإجراء الاستيفاء الخطي في اتّجاه x . ينتج عن هذا

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}}$

نستمر بالاستيفاء في الاتجاه y للحصول على التقدير المطلوب:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}\left(f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

نلاحظ أننا سنصل إلى نفس النتيجة إذا تم القيام بالاستيفاء أولاً في اتجاه y ثم في اتجاه x. [1]

هناك طريقة بديلة تتمثل في كتابة حل مشكلة الاستيفاء على هيئة متعددة الحدود متعددة الخطوط

كطريقة بديلة هي كتابة الحل لمشكلة الاستيفاء على شكل متعدد الحدود

${\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}$

حيث تم العثور على المعاملات بحل المعادلة الخطية

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}&x_{1}y_{1}\\1&x_{1}&y_{2}&x_{1}y_{2}\\1&x_{2}&y_{1}&x_{2}y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

ينتج لنا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-x_{2}y_{1}&-x_{1}y_{2}&x_{1}y_{1}\\-y_{2}&y_{1}&y_{2}&-y_{1}\\-x_{2}&x_{2}&x_{1}&-x_{1}\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

تصور هندسي للاستيفاء الخطي الثنائي. حيث يكون حاصل ضرب القيمة في النقطة المطلوبة (السوداء) والمنطقة بأكملها يساوي مجموع حاصل ضرب القيمة في كل زاوية والمنطقة الجزئية مقابل القطر (الألوان المماثلة).

يمكن أيضًا كتابة الحل على شكل متوسط موزون لـ f ( Q ):

${\displaystyle f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22}),}$

حيث تجمع الأوزان إلى 1 وتفي بالنظام الخطي المنقول

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\x_{1}&x_{1}&x_{2}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}&y_{1}&y_{2}\\x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}&x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{12}\\w_{21}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},}$

ينتج لنا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{21}\\w_{12}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

والتي تبسط إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(x_{2}-x)(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{12}&=(x_{2}-x)(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{21}&=(x-x_{1})(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{22}&=(x-x_{1})(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\end{aligned}}}$

بالاتفاق مع النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستيفاء الخطي المتكرر. يمكن أيضًا تفسير مجموعة الأوزان على أنها مجموعة من إحداثيات مركز الكتلة المعممة للمستطيل.

وهذا يتفق مع النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستيفاء الخطي المكرر. يمكن أيضًا تفسير مجموع الأوزان كمجموعة من نظام الإحداثيات المرجحية المعممة لمستطيل.

بدمج ما ذُكر أعلاه، لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)\approx {\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})&f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

إذا اخترنا نظام إحداثيات يكون فيه النقاط الأربعة التي تعرف قيمة f عندها هي (0، 0)، (0، 1)، (1، 0)، و (1، 1)، فإن صيغة الاستيفاء تبسط إلى:

${\displaystyle f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,0)x(1-y)+f(1,1)xy,}$

أو ما يعادلها، في عمليات المصفوفة:

${\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.}$

هنا نتعرف أيضًا على الأوزان:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(1-x)(1-y),\\w_{12}&=(1-x)y,\\w_{21}&=x(1-y),\\w_{22}&=xy.\end{aligned}}}$

غيرَ ذلك، يمكننا كتابة الاستيفاء على مربع الوِحدة على الشكل التالي

${\displaystyle f(x,y)=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}$

حيث

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{00}&=f(0,0),\\a_{10}&=f(1,0)-f(0,0),\\a_{01}&=f(0,1)-f(0,0),\\a_{11}&=f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0).\end{aligned}}}$

في كلا الحالتين، يتوافق عدد الثوابت (أربعة) مع عدد نقاط البيانات حيث تعطى f .

كما هو موضح في المثال على اليسار، يمكن حساب قيمة الكثافة في البكسل المحسوب ليكون في الصف 20.2، العمود 14.5 عن طريق الاستيفاء الخطي أولاً بين القيم في العمود 14 و 15 على كل من الصفوف 20 و 21، مما يعطي ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{20,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 91+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 210=150.5,\\I_{21,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 162+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 95=128.5,\end{aligned}}}$

ثم استيفاء خطي بين هذه القيم، مما يعطي

${\displaystyle I_{20.2,14.5}={\frac {21-20.2}{21-20}}\cdot 150.5+{\frac {20.2-20}{21-20}}\cdot 128.5=146.1.}$

هذا الخوارزمية تقلل من بعض التشويهات البصرية الناتجة عن تصغير الصورة إلى معامل تكبير غير صحيح، بالمقارنة مع التقنية التي تعتمد على استيفاء الجار الأقرب، والتي قد تجعل بعض البكسلات تبدو أكبر من البعض الآخر في الصورة المُغيَّرة الحجم.