اختيار المواد

في الحالة الأولى، واجه القضيب المعدني قوتين: وزن الجاذبية ${\displaystyle w}$ والتوتر ${\displaystyle P}$. ومتغير المادة هو الكثافة ${\displaystyle \rho }$ والقوة ${\displaystyle \sigma }$. افترض أن الطول ${\displaystyle L}$ والتوتر ${\displaystyle P}$ تم تعديلهما، مما يجعلها من متغيرات التصميم. وأخيرا عبر منطقة المقطع ${\displaystyle A}$ هو متغير حر. فالهدف في هذه الحالة هو تقليل الوزن ${\displaystyle w}$ عن طريق اختيار مادة مع أفضل مزيج من متغيرات المواد ${\displaystyle \rho ,\sigma }$. يوضح الشكل 1 هذا التحميل.

شكل 1. قضيب وضع تحت تأثير ضغط الشد والإجهاد لتقليل الوزن.

يتم قياس الضغط في القضيب ب ${\displaystyle P/A}$ في حين وصف الوزن ${\displaystyle w=\rho AL}$. يتطلب اشتقاق مؤشر الأداء إزالة جميع المتغيرات الحرة، مع ترك متغيرات التصميم ومتغيرات المواد فقط. في هذه الحالة يجب إزالة ${\displaystyle A}$. يمكن إعادة ترتيب معادلة الضغط المحوري لإعطاء ${\displaystyle A=P/\sigma }$. استبدال هذا في معادلة الوزن يعطي ${\displaystyle w=\rho (P/\sigma )L=\rho LP/\sigma }$. بعد ذلك، يتم تجميع متغيرات المواد ومتغيرات التصميم بشكل منفصل، لينتج ${\displaystyle w=(\rho /\sigma )LP}$.

منذ وبما أن كلاً من ${\displaystyle L}$ و ${\displaystyle P}$ تم تعديلهما، وأن الهدف من ذلك هو لتقليل ${\displaystyle w}$ حينها يجب تقليل معدل النسبة ${\displaystyle \rho /\sigma }$. ومع ذلك، وفقًا للمعايير، يكون مؤشر الأداء دائمًا ما يكون كمياً لأقصى حد ممكن. لذلك، المعادلة الناتجة هي ${\displaystyle {\text{Performance index}}=P_{cr}=\sigma /\rho }$

تالياً، لنفترض أن المادة تخضع أيضًا لقوى الانحناء. فإن الحد الأقصى لمعادلة تركيز الشد للانحناء هو ${\displaystyle \sigma =(-My)/I}$، حيث أن ${\displaystyle M}$ هي لحظة الانحناء، و ${\displaystyle y}$ هي المسافة من المحور المحايد، و ${\displaystyle I}$ هي لحظة الجمود. وهذا موضح في الشكل 2. باستخدام معادلة الوزن أعلاه وحل للمتغيرات الحرة، فإن الحل الذي تم التوصل إليه هو ${\displaystyle w={\sqrt {6MbL^{2}}}(\rho /{\sqrt {\sigma }})}$، أي أن ${\displaystyle L}$ هو الطول و ${\displaystyle b}$ هو ارتفاع القضيب. افترض أن ${\displaystyle b}$، ${\displaystyle L}$ و ${\displaystyle M}$ هي متغيرات تصميم معدلة، فسيصبح مؤشر الأداء للانحناء ${\displaystyle P_{CR}={\sqrt {\sigma }}/\rho }$.

الشكل 2. القضيب المعدني تحت تأثير ضغط الانحناء. لمحاولة تقليل الوزن

عند هذه النقطة، تم اشتقاق مؤشران للأداء: للتوتر ${\displaystyle \sigma /\rho }$ وللانحناء ${\displaystyle {\sqrt {\sigma }}/\rho }$. تتمثل الخطوة الأولى في إنشاء مخطط لوغاريتمي وإضافة جميع المواد المعروفة في المواقع المناسبة. ولكن، يجب تعديل معادلات مؤشر الأداء قبل أن يتم رسمها على الرسم اللوغاريتمي.

لمعادلة أداء التوتر ${\displaystyle P_{CR}=\sigma /\rho }$، الخطوة الأولى هي أخذ لوغاريتم لكلا الجانبين. يمكن إعادة ترتيب المعادلة الناتجة لإعطاء ${\displaystyle \log(\sigma )=\log(\rho )+\log(P_{CR})}$. لاحظ أن هذا يتبع تنسيق ${\displaystyle y=x+b}$، مما يجعلها خطية على الرسم اللوغاريتمي. وبالمثل، فإن تقاطع y هو لوغاريتم ${\displaystyle P_{CR}}$. وبالتالي، فإن قيمة ${\displaystyle P_{CR}}$ المعدلة للتوتر في الشكل 3 هو 0.1.

معادلة أداء الثني ${\displaystyle P_{CR}={\sqrt {\sigma }}/\rho }$ يمكن التعامل معها بالمثل. وباستخدام خاصية القوة اللوغاريتمية يمكن استخلاص ذلك ${\displaystyle \log(\sigma )=2\times (\log(\rho )+\log(P_{CR}))}$. قيمة ل ${\displaystyle P_{CR}}$ للانحناء ≈ 0.0316 في الشكل 3. وأخيرًا، يتم رسم كلا الخطين على مخطط أشبي.

الشكل 3. مخطط أشبي مع مؤشرات الأداء المرسومة لتحقيق أقصى نتيجة

أولاً، يمكن العثور على أفضل مواد للانحناء عن طريق التحقق من المناطق التي تتجاوزخط الانحناء على الرسم البياني من ${\displaystyle {\sqrt {\sigma }}/\rho }$. في هذه الحالة، تكون بعض الرغاوي (باللون الأزرق) والسيراميك التقني (باللون الوردي) أعلى من الخط. وبذلك تكون هذه أفضل المواد للانحناء. وعلى الصعيد المقابل، فإن المواد الموجودة أسفل الخط (مثل المعادن الموجودة في أسفل يمين المنطقة الرمادية) ستكون أسوأ المواد.

وأخيراً، فإن خط التوتر${\displaystyle \sigma /\rho }$ يمكن استخدامه «لكسر الحواجز» بين الرغاوي والسيراميك التقني. نظرًا لأن السيراميك التقني هو المادة الوحيدة التي تتواجد في مستوى أعلى من خط التوتر، لذا فإن أفضل مادة تعمل تحت تأثير الضغط هو السيراميك التقني. وبذلك، فإن أفضل المواد بشكل عام هي السيراميك الفني في الجزء العلوي الأيسر من المنطقة الوردية مثل كربيد البورون.

يمكن رسم مؤشر الأداء على مخطط أشبي عن طريق تحويل المعادلة إلى المقياس اللوغاريتمي. يتم ذلك عن طريق أخذ لوغاريتم كلا الجانبين، ووضها بمحاذاة خط مشابهًا لخط مع ${\displaystyle P_{cr}}$ كونها تقاطع المحور ص. وهذا يعني أنه كلما زاد التقاطع، زاد أداء المادة. عن طريق تحريك الخط لأعلى في مخطط أشبي، يرتفع مؤشر الأداء. لكل مادةٍ تمر الخط، لديهتسجل مؤشرات أدائها على المحور ص. لذلك، فإن الانتقال إلى أعلى المخطط مع استمرار لمس منطقة من المواد هو المكان الذي سيكون فيه أعلى أداء للمادة.

وكما يتضح من الشكل 3، يتقاطع الخطان بالقرب من أعلى الرسم البياني وهما السيراميك التقني والمركبات. هذا سيعطي مؤشر أداء 120 لتحمل الشد و 15 للثني. عند الأخذ في الاعتبار تكلفة السيراميك الهندسي، خاصة وأن التقاطع حصل بالقرب من كربيد البورون، فلن يكون هذا الاختيار الأمثل. هناك حالة أفضل مع انخفاض مؤشر الأداء ولكن هنالك حلول لها تكلفة أقل حول هندسة المركبات بالقرب من CFRP (صفائح أنسجة الكربون المدعمة).