اختبار النسبة (رياضيات)

لتكن المتسلسلة التالية :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}$

بما أن هذه النهاية هي أصغر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتقارب.

لتكن المتسلسلة التالية :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}$

استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}$

بما أن هذه النهاية هي أكبر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتباعد.

لتكن المتسلسلات الثلاث التالية:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$