إثبات خاطئ

نبدأ بالمطابقة

${\displaystyle -1=-1\,}$

نحول طرفي المعادلة إلى كسور عامية

${\displaystyle {\frac {1}{-1}}={\frac {-1}{1}}}$

بتطبيق قاعدة الجذر على الطرفين نجد أن

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}}$

بضرب الطرفين × ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}}$ نحصل على

${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}}$

إن تربيع أي جذر تربيعي يعطي الرقم الأصلي وعليه

${\displaystyle \displaystyle {1=-1}}$

و هو المطلوب إثباته (هـ.ط.ث. Q.E.D.)

بالطبع الاثبات غير مشروع لأنه تم تطبيق قاعدة الجذر التربيعي بطريقة خاطئة.

${\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}$

يكون هذا صحيحا فقط عندما تكون قيم x و y أعداد حقيقية موجبة وهذا مالم يتم اقتضاؤه سابقا. على هذا الأساس فالبرهان خاطئ

بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:

${\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

هـ.ط.ث.

تكون القاعدة ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ عموما مشروعة فقط إذا كان أحد الأعداد x أو y على الأقل موجبا، وهذه ليست الحال هنا. بطريقة أخرى يمكن للمرء النظر للجذر التربيعي على أنه دالة ثنائية القيمة في الأعداد المركبة وفي هذه الحال يقدر طرفا المعادلة السابقة بـ{1, −1}.

كذلك يقتضى أنه إذا كان الجذر التربيعي في بداية مسألة تكون الإجابة الموجبة هي الوحيدة المطلوبة، ولذلك إذا

بدأنا بـ1=1 ثم البناء حتى ${\displaystyle {\sqrt {1}}\,}$ سنصل في النهاية إلى 1= ± 1

تقنيا نستخلص أن تعويض ± 1 = ± 1 فيما سبق يصل بنا إلى النتيجة الخاطئة 1 = 1, 1 = -1, -1 = 1, -1 = -1

بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:

${\displaystyle -1=(-1)^{3}=(-1)^{\frac {6}{2}}=((-1)^{2})^{\frac {3}{2}}=1^{\frac {3}{2}}=1}$

هـ.ط.ث.

المعادلة a^bc = (a^b)^c لأي عددين حقيقيين b وc عمومامشروعة فقط عندما يكون a موجبا، وهذه الحالة ليست هنا.

بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية

${\displaystyle \,\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}$.

برفع طرفي المعادلة للقوة 3/2 نحصل على

${\displaystyle (\cos ^{2}x)^{\frac {3}{2}}=(1-\sin ^{2}x)^{\frac {3}{2}}}$

${\displaystyle (\cos ^{3}x)=(1-\sin ^{2}x)^{\frac {3}{2}}}$.

والان لتكن x = π. حينئذ

${\displaystyle -1=(1-0)^{\frac {3}{2}}}$

${\displaystyle -1=1.\,}$

هـ.ط.ث.

في هذا البرهان، بدأت المغالطة في الخطوة الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (a^b)^c = a^bc دون التأكد من أن a موجبة القيمة. أيضا، في الخطوة الرابعة، لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة ${\displaystyle (1-0)^{\frac {3}{2}}}$. مع أن 1 يعتبر جذرا، −1 هو جذر أيضا.

بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة الصحيحة −1 = −1.

إذا كان a^b = a^c'، فإن b = c. لذلك، بما أن1x = 1y، يمكننا استنباط أن x = y.

هـ.ط.ث.

الخطأ في هذا الاثبات يقع في الحقيقة أن القاعدة المنصوص عليها صحيحة فقط لعدد موجب a لا يساوي 1.

${\displaystyle {\sqrt {-1}}=(-1)^{\frac {2}{4}}=((-1)^{2})^{\frac {1}{4}}=}$

${\displaystyle 1^{\frac {1}{4}}=1}$

هـ.ط.ث.

يقع الخطأ هنا في السطر الأخير من الاثبات، حيث أهملنا الجذور الرباعية الأخيرة لـ1، وهي −1, i

و− i (حيث أن i هي الوحدة التخيلية).