إثبات المتطابقات المثلثية

المتطابقة 1:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

النتيجتان التاليتان تتبعان هذه ومتطابقات النسب المثلثية. للحصول على الأولى، نقوم بتقسيم الطرفين ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$ على ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$؛ للثانية، نقسّم على ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$.

${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1\ =\sec ^{2}\theta }$

${\displaystyle \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1}$

بصورة مماثلة:

${\displaystyle 1\ +\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$

${\displaystyle \csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1}$

المتطابقة 2:

الحسابات التالية لجميع الدوال العكسية الثلاث.

${\displaystyle \csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =2\ +\tan ^{2}\theta }$

البرهان 2:

الرجوع إلى الرسم البياني للمثلث. لاحظ أن ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ حسب مبرهنة فيثاغورس.

${\displaystyle \csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta ={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}$

بتعويض بالدوال المناسبة:

${\displaystyle 2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}\theta +\cot ^{2}\theta }$

تعطي إعادة الترتيب:

${\displaystyle \csc ^{2}\theta +\sec ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =2\ +\tan ^{2}\theta }$

رسم توضيحي لصيغة مجموع زاويتين.

ارسم خطًا أفقيًا (محور x)؛ حدد نقطة الأصل O. ارسم مستقيمًا من O يميل بزاوية ${\displaystyle \alpha }$ فوق المستقيم الأفقي والمستقيم الثاني يميل بزاوية ${\displaystyle \beta }$ فوق المستقيم الأخير؛ الزاوية بين المستقيم الثاني ومحور x هي ${\displaystyle \alpha +\beta }$ .

ضع النقطة P على المسقيم المحدد بـ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ على مسافة قياسها 1 من الأصل.

ليكن PQ مستقيم عمودي على المستقيم OQ المحدد بالزاوية ${\displaystyle \alpha }$، مرسوم من النقطة Q على هذا الخط إلى النقطة P. إذن OQP هي زاوية قائمة.

ليكن QA عمودي من النقطة A على محور x إلى Q، وPB عمودي من النقطة B على المحور x إلى P. إذن OAQ وOBP زاويتان قائمتان.

نرسم النقطة R على PB بحيث يكون QR موازيًا للمحور x.

الآن الزاوية ${\displaystyle \angle RPQ=\alpha }$ (لأن ${\displaystyle \angle OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$ تجعل ${\displaystyle RQO=\alpha }$ و ${\displaystyle RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$، إذن ${\displaystyle RPQ=\alpha }$ )

${\displaystyle RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {\pi }{2}}-RQO)=RQO=\alpha }$

${\displaystyle OP=1}$

${\displaystyle PQ=\sin \beta }$

${\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {AQ}{OQ}}=\sin \alpha }$، إذن ${\displaystyle AQ=\sin \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {PR}{PQ}}=\cos \alpha }$، إذن ${\displaystyle PR=\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

بتعويض ${\displaystyle \beta }$ بـ ${\displaystyle -\beta }$ وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )}$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

باستخدام الشكل أعلاه:

${\displaystyle OP=1}$

${\displaystyle PQ=\sin \beta }$

${\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {OA}{OQ}}=\cos \alpha }$ ، إذن ${\displaystyle OA=\cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {RQ}{PQ}}=\sin \alpha }$، إذن ${\displaystyle RQ=\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta }$

بتعويض ${\displaystyle \beta }$ بـ ${\displaystyle -\beta }$ وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos(-\beta )-\sin \alpha \sin(-\beta ),}$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

أيضا، باستخدام صيغ الزاويتين المتتامتين:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\pi /2-(\alpha +\beta )\right)\\&=\sin \left((\pi /2-\alpha )-\beta \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\alpha \right)\cos \beta -\cos \left(\pi /2-\alpha \right)\sin \beta \\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\end{aligned}}}$

من صيغتي الجيب وجيب التمام، نحصل على:

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}}$

بقسمة كل من البسط والمقام على ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$، نحصل على:

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

بطرح ${\displaystyle \beta }$ من ${\displaystyle \alpha }$ وباستخدام متطابقة ${\displaystyle \tan(-\beta )=-\tan \beta }$:

${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \tan(-\beta )}}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$

وبالمثل من صيغتي الجيب وجيب التمام، نحصل على:

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }}}$

عندئذ بقسمة كل من البسط والمقام على ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta }$ ، نحصل على:

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

أو باستخدام ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}$:

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}={\frac {{\frac {1}{\tan \alpha \tan \beta }}-1}{{\frac {1}{\tan \alpha }}+{\frac {1}{\tan \beta }}}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

باستخدام ${\displaystyle \cot(-\beta )=-\cot \beta }$:

${\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot(-\beta )-1}{\cot \alpha +\cot(-\beta )}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}}$

من متطابقات مجموع زاويتين، نحصل على:

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$

و

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }$

تعطي متطابقات فيثاغورس الشكلين البديلين للأخيرة:

${\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta }$

تعطي متطابقات مجموع الزوايا أيضًا:

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot \theta -\tan \theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}}$

ويمكن أيضًا إثبات ذلك باستخدام صيغة أويلر:

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

بتربيع كلا الطرفين ينتج:

${\displaystyle e^{i2\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}}$

لكن تعويض الزاوية بنسختها المضاعفة، والذي يحقق نفس النتيجة في الطرف الأيسر من المعادلة، ينتج:

${\displaystyle e^{i2\varphi }=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$

يترتب على ذلك أن:

${\displaystyle (\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$ .

بنشر المربع والتبسيط على الطرف الأيسر من المعادلة يعطي:

${\displaystyle i(2\sin \varphi \cos \varphi )+\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$ .

لأن الأجزاء التخيلية والحقيقية يجب أن تكون هي نفسها، يتبقى لدينا المتطابقات الأصلية:

${\displaystyle \cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi }$ ,

وأيضًا:

${\displaystyle 2\sin \varphi \cos \varphi =\sin 2\varphi }$ .

تؤدي المتطابقتان اللتان تعطيان الأشكال البديلة لـ cos 2θ إلى المعادلات التالية:

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$

يجب اختيار إشارة الجذر التربيعي بشكل صحيح - لاحظ أنه إذا أضيفت 2π إلى θ، فإن الكميات الموجودة داخل الجذور التربيعية لن تتغير، لكن إشارة الأطراف اليسرى من المعادلات تتغير. ولذلك، فإن الإشارة الصحيحة التي يجب استخدامها تعتمد على قيمة θ.

بالنسبة لدالة الظل، المعادلة هي:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}.}$

عندئذ بضرب البسط والمقام داخل الجذر التربيعي بـ (1 + cos θ) وباستخدام متطابقات فيثاغورس:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}$

وأيضًا، إذا ضُرِبَا البسط والمقام في (1 - cos θ)، ستكون النتيجة هي:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}}$

وهذه تعطي أيضا:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta }$

نفس الشيء بالنسبة لدالة ظل التمام:

${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta }$

إذا كانت المساواة "ψ + θ + ϕ = π= نصف دائرة" محققة (على سبيل المثال، ${\displaystyle \psi }$، و ${\displaystyle \theta }$ و ${\displaystyle \phi }$ هي زوايا المثلث)، فإن:

${\displaystyle \tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi )}$

الإثبات:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan \theta -\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }}\\&={\frac {\tan \theta +\tan \phi }{\tan \theta \tan \phi -1}}\\(\tan \theta \tan \phi -1)\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi -\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi &=\tan \psi +\tan \theta +\tan \phi \\\end{aligned}}}$

إذا كانت المساواة "ψ + θ + ϕ = π/2 = ربع دائرة" محققة، فإن:

${\displaystyle \cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )}$.

الإثبات:

نعوّض كل من ψ + θ + ϕ بزواياها المتتامة، وبذلك تتحول ظلال التمام إلى الظلال والعكس:

يعطى:

${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi }$

إذن، تُستنتج النتيجة من متطابقة ثلاثية الظلال.

• ${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

نبدأ أولًا بمتطابقتي مجموع زاويتين:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

وبجمع المتطابقات معًا:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \cos \beta }$

وبالمثل، بطرح متطابقتي مجموع زاويتين،

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \sin \beta }$

لتكن ${\displaystyle \alpha +\beta =\theta }$ و ${\displaystyle \alpha -\beta =\phi }$:

إذن، ${\displaystyle \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}}$ و ${\displaystyle \beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}}$

نعوض ${\displaystyle \theta }$ و ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)}$

إذن:

${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$

وبالمثل بالنسبة لجيب التمام، نبدأ بمتطابقات مجموع زاويتين:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

مرة أخرى، بالجمع والطرح:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =-2\sin \alpha \sin \beta }$

نعوض ${\displaystyle \theta }$ و ${\displaystyle \phi }$ كما في السابق:

${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$