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Propiedat commutativa:
3 × 4 = 12 = 4 × 3
doce elementos pueden estar ordenatos en tres filas de cuatre, u cuatre columnas de tres.

A multiplicación^[1] ye una operación aritmetica de composición en a que se suma reiteradament a primera cantidat tantas vegatas como indica a segunda. Asinas, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. A multiplicación ye asociata a o concepto de aria cheometrica.

O resultato d'a multiplicación de cuantos numeros se diz producto. Os numeros que se multiplican se dicen factors u coeficients, y individualment: multiplicando (numero a sumar) y multiplicador (vegatas que se suma o multiplicando). Encara que ista diferenciación en bels contextos puet estar superflua cuan en o conchunto a on sía definito o producto se tien a propiedat commutativa d'a multiplicación (por eixemplo, en os conchuntos numericos). Se veiga ta una descusión sobre o tema.

En Alchebra Moderna gosa emplegar-se a denominación cocient u multiplicación con a suya notación habitual "·" ta designar a operación externa en un modulo, ta designar tamién a segunda operación que se define en un aniello (aquella ta la que no ye definido l'elemento inverso d'o 0), u ta designar a operación que da a un conchunto estructura de grupo.

Por eixemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&1&2\\+&&4\\\hline &4&8\\\end{array}}{\begin{array}{l}\longleftarrow multiplicando\\\longleftarrow multiplicadordefactores\\\longleftarrow producto\\\end{array}}}$

Notación

A multiplicación s'indica con l'aspa × u o punto centrato ·. En ausencia d'istos caracters se gosa emplegar l'asterisco *, mas que mas en informatica (iste uso tien o su orichen en FORTRAN), pero ye desaconsellato en atros ambitos y nomás se be d'emplegar cuan no bi ha atra alternativa. A vegatas se fa servir a letra x, pero isto ye desaconsellable porque creya una confusión innecesaria con a letra que por un regular s'asigna a una incognita en una ecuación. Amás tamién se podría omitir o signo de multiplicación a menos que se multipliquen numeros u se pueda chenerar confusión sobre os nombres d'as incognitas, constants u funcions (por eixemplo, cuan o nombre de bella incognita tien mas d'una letra y podría trafucar-se con o producto d'atras dos). Tamién gosan emplegar-se signos d'agrupación como o parentesis (), gafez ([]) u claus ({ }). Isto mas que mas s'emplega ta multiplicar numeros negativos entre sí u por numeros positivos.

Si os factors no s'escriben de traza individual y son definitos aintro d'un vector, se puet escribir o producto por meyo d'una elipsis, ye decir, escribir explicitament os primers termins y os zaguers, u, en caso d'un producto d'infinitos termins (u productos infinitos), nomás os primers, y substituir a resta por uns puntos suspensivos. Isto ye analogo a lo que se fa con atras operacions aplicatas a infinitos numeros (como as sumas). [O producto de infinitos termins se define como o limite d'o producto d'os n primers termins cuan n creixe indefinidament].

Asinas, o producto de toz os numeros naturales dende l'1 dica o 100 se puet escribir:

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100}$

Isto tamién se puet denotar escribindo os puntos suspensivos en a parti meya d'a linia de texto:

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100}$

En cualsiquier caso, han d'estar claros cuals son os termins omititos.

Ta rematar, se puet denotar o producto por meyo d'o simbolo productorio, que proviene d'a letra griega Π (Pi mayúscla).

Isto se define asinas:

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.}$

O subendiz i indica una variable que recorre os numeros enteros dende un valor minimo (m, indicato en o subendiz) y un valor maximo (n, indicado en o superendiz).

Definición

A multiplicación de dos numeros enteros n y m s'expresa como:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}m=mn}$

Ista no ye mas que una traza de simbolizar a expresión "sumar m a sí mesmo n vegata". Puet facilitar a comprensión expandir a expresión anterior:

${\displaystyle m\cdot n=m+m+m+...+m}$

tal que bi ha n sumandos. Asinas, por eixemplo:

${\displaystyle 5\cdot 2=5+5=10}$

${\displaystyle 2\cdot 5=2+2+2+2+2=10}$

${\displaystyle 4\cdot 3=4+4+4=12}$

${\displaystyle m\cdot 6=m+m+m+m+m+m=6m}$

Propiedaz

Connexión con a cheometría

Dende un punto d'anvista purament cheometrico, a multiplicación entre 2 valors produce un aria que ye representable. D'a mesma traza o producto de 3 valors produce un volumen igualment representable. Y en cheneral o producto de cualsiquier numero de valors mayors de 0 produce un resultato cheometrico representable sía iste mas u menos intuitivo y mas u menos fácil de representar.

Producto de numeros negativos

O producto de numeros negativos tamién requiere parar cuenta un mica. en primeras, s'ha de considerar o numero -1. Ta cualsiquier entero positivo m:

${\displaystyle (-1)\cdot m=(-1)+(-1)+...+(-1)=-m}$

Iste ye un resultato intresant que amuestra que cualsiquier numero negativo no ye mas que un numero positivo multiplicato por -1. Asinas que a multiplicación d'enters cualsiquiera se puet representar por a multiplicación d'enters positivos y factors -1. L'único que queda por definir ye o producto de (-1)(-1):

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=-(-1)=1}$

D'os numeros enters a os numeros complexos

D'ista traza, se define a multiplicación de dos enters. As definicions pueden enamplar-se a conchuntos cada vegata mayors de numeros: primero o conchunto d'as fraccions u numeros racionals, dimpués a toz os numeros reals y ta rematar a os numeros complexos y atras extensions d'os numeros reals.

Definición recursiva

Una definición recursiva d'a multiplicación puet dar-se seguntes istas reglas:

${\displaystyle ''x''\cdot 0=0}$

${\displaystyle ''x''\cdot ''y''=''x''+''x''\cdot (''y''-1)}$

a on que x ye una cantidat arbitraria y y ye un numero natural. Una vegata o producto ye definito ta os numeros naturals, se puet enamplar a conchuntos mas granes, como ya s'ha dito anteriorment.

Calculo d'un producto

• Consideremos un aniello R y a categoría de R-módulos a ezquierda. En iste caso a suma dreita existe y ye unica. A construcción se puet fer d'a siguient traza: sía ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ una familia de R-modulos a ezquierda, alavez ${\displaystyle S:=\{(a_{i})_{i\in I}:a_{i}\in A_{i}}$ y fueras d'un numero finito toz os ai son cero ${\displaystyle \}}$ y ${\displaystyle f_{i}:A_{i}\to S}$ ye a inclusión de Ai en a i-ésima coordenata.

A suma d'elementos de S ye coordenata a coordenata y o producto d'un elemento de R por un de S, tamién ye coordenata a coordenata.

• Un caso particular de l'anterior ye cuan R ye cuerpo, ye decir cuan somos en a categoría de espacios vectorials sobre un cuerpo dato. En iste caso, dato V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tals que ${\displaystyle W\cap U=\{0\}}$, podemos definir a suma dreita interna, denotata W \oplus U, como o subespacio chenerato por W y U. No ye dificil prebar que iste subespacio ye isomorfo a la suma dreita definita en o punto anterior.

Atros productos

• Producto de matrices: A multiplicación de matrices, que no tien propiedaz commutativas.

Se veiga tamién

• Inverso multiplicativo
• Tabla de multiplicar
• Pitatoria
• Algorismo de Booth

Referencias