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O espacio euclideo tridimensional R³ ye un espacion vectorial, y as lineas y plans que pasan por l'orichen son subespacios vectorials en R³.

L'alchebra lineal ye a branca d'as matematicas que tracta o estudio d'os vectors, espacios vectorials, transformacions lineals y sistemas d'ecuacions lineals. Os espacios vectorials son un tema central en as matematiques modernas, por ixo s'usa amplament en l'alchebra abstracta y l'analís funcional. L'alchebra lineal tien una representación concreta en a cheometría analitica, y tien aplicacions en o campo d'as ciencias naturals y en as ciencias socials.

Os vectors y os espacios vectorials son uns obchectos matematicos que pueden servir ta modelizar o espacio fisico de tres dimensions, pero tamién atros conceptos que tienen caracteristiques parellanas, como o espacio-tiempo de cuatre dimensions, u atros obchectos de mas dimensions u mesmo d'infinitas dimensions como por eixemplo o espacio abstracto que forman o conchunto de funcions desembolicatas en una serie de Taylor, o conchunto de todas as funcions complexas u as succesions reals.

As aplicacions lineals son un caso particular de funcions que a cada vector d'un espacio vectorial le fan corresponder (u lo transforman en) un atro vector d'un atro (u d'o mesmo) espacio vectorial. A particularidat que caracteriza a las aplicacions lineals ye que "respetan" a suma de vectors y o producto por un escalar. Una función ye una aplicación lineal si y nomás si ye o mesmo transformar a suma de dos vectors multiplicatos por un escalar que sumar o resultato de transformar-los un por un.

As matrices son listas de vectors que por un regular se representan en una tabla. Como as aplicacions lineals queden determinatas de tot una vegada que se conoixe que transformación fan a un conchunto de vectors tals que os atros se puedan escribir como a suma d'istos (o numero de vectors que cal ye igual a la dimensión d'o espacio), achuntando os vectors resultato de transformar un d'istos conchuntos (dito base) s'obtiene una matriz que determina l'aplicación lineal. Alavez o estudio d'as matrices facilita o estudio d'as aplicacions lineals.

Os determinants son funcions que a un conchunt de vectors (en un numero igual a la dimensión d'o espacio) le asignan o volumen con signo (u hipervolumen si o espacio ye de dimensión diferent de 3) d'o paralelepipedo (u hiperparalelepipedo) que definen. Si os vectors se troban en un espacio de dimensión mas chicota que o espacio total (por eixemplo un plan en un espacio de tres dimensions) o determinant ye cero. Isto permite caracterizar os conchuntos de vectors, as matrices y as aplicacions asociatas.

Historia

A historia de l'alchebra lineal moderna data de primerías d'a decada de 1840. En 1843 William Rowan Hamilton (o introductor d'o termin vector) creyó os cuaternions que describen a mecanica en tres dimensions y en 1844, Hermann Grassmann publicó o libro Die lineale Ausdehnungslehre. En 1857 Arthur Cayley introdució as matrices, una d'as ideyas alchebraicas mas basicas. A pesar d'istas ideyas l'alchebra lineal no fue desembolicata dica primerías d'o sieglo XX