Spiraal

Die eiendomme wat hier beskryf word, is van toepassing op die meeste spirale van die vorm ${\displaystyle r=f(\theta )}$, veral vir die gevalle ${\displaystyle r=a\theta ^{n}}$ (Archimedesespiraal, hiperboliesespiraal, Fermatsespiraal, lituusspirale) en die logaritmiese spiraal ${\displaystyle r=ae^{k\theta }}$

Definisie van sektor (ligblou) en polêre hellinghoek ${\displaystyle \alpha }$

Die hoek ${\displaystyle \alpha }$ tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en ${\displaystyle \tan \alpha }$ die poolhelling. Die formule vir die poolhelling ${\displaystyle \alpha }$, wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ }$ waar ${\displaystyle r'}$ is ${\displaystyle dr/d\theta }$

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van ${\displaystyle \theta }$, maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiraal spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant: ${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$

Die kromming ${\displaystyle \kappa }$ van 'n kurwe met poolvergelyking ${\displaystyle r=r(\theta )}$ is[1]

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Die oppervlak van 'n sektor van 'n kurwe (sien diagram) met poolvergelyking ${\displaystyle r=r(\theta )}$ is

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}(r(\theta ))^{2}\;d\theta \ .}$

Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking ${\displaystyle r=r(\theta )}$ is:

${\displaystyle L=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\theta )\right)^{2}+r^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta \ .}$

Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

${\displaystyle r=\alpha ,\ \alpha >0\;}$

${\displaystyle z=\beta \theta ,\ \beta >0}$

waar ${\displaystyle \alpha }$ is die radius van die spoel en ${\displaystyle 2\pi \beta }$ is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Conic spiral with Archimedean spiral as floor plan

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings

${\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \ ,\qquad y=r(\theta )\sin \theta }$

dan kan 'n derde koördinaat ${\displaystyle z}$ sodanig ingebring word met die beperking:

${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$:

met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

${\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \ ,\qquad y=r(\theta )\sin \theta \ ,\qquad z=z_{0}+mr(\theta )\ .}$

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

As iemand met 'n archimedean spiral ${\displaystyle \;r(\theta )=a\theta \;}$ kry hy 'n koniese spiraal van [2] (sien beeld regs):

${\displaystyle x=a\theta \cos \theta \ ,\qquad y=a\theta \sin \theta \ ,\qquad z=z_{0}+ma\theta \ ,\quad \theta \geq 0\ .}$

Spherical spiral with ${\displaystyle c=8}$

Die oppervlak van 'n sfeer, radius ${\displaystyle r}$, kan voorgestel word deur die volgende vergelykings:[3]:

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}$

Wanneer ${\displaystyle \varphi }$ voorgestel is deur die vergelyking ${\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,}$, kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal. [4] met die parametriese voorstelling (${\displaystyle c}$ is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos c\theta \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin c\theta \\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}}$