Simmetrie

Die inversiepunt i keer alle drie koördinate om

${\displaystyle i(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})}$

Drietallige simmetrie

'n Rotasie-as van orde n draai 'n punt oor 'n sekere hoek ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$

Vir n=2 gee dit 'n tweetallige as C_2z en die operasie kan geskryf word as:

${\displaystyle C_{2z}(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},z)}$

Hier het ons die z-as as draaiingsas gekies, maar ook andere asse kan gekies word

${\displaystyle C_{2x}(x,y,z)\to (x,{\bar {y}},{\bar {z}})}$

${\displaystyle C_{2y}(x,y,z)\to ({\bar {x}},y,{\bar {z}})}$

Viertallige simmetrie

'n Viertallige as (n=4) draai 'n punt met 90 grade. Dié operasie moet vier maal uitgevoer word om terug te keer tot die oorsponklike punt

${\displaystyle C_{4z}(x,y,z)\to ({\bar {y}},x,z)}$

${\displaystyle C_{4z}^{2}(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},z)}$

${\displaystyle C_{4z}^{3}(x,y,z)\to (y,{\bar {x}},z)}$

${\displaystyle C_{4z}^{4}(x,y,z)\to (x,y,z)}$

Die operasie van 'n rotasiespieëlas kan gesien word as 'n rotasie gevolg deur 'n spieëling.

Die element S_4z is 'n voorbeeld: rotasie oor 90 grade om die z-as gevolg deur spieëling om die (x,y) vlak. Die kombinasie gee die operasie:

${\displaystyle S_{4z}(x,y,z)\to ({\bar {y}},x,{\bar {z}})}$

'n Alternatief is die te beskryf as rotasie gevolg deur inversie (met simbool ${\displaystyle {\bar {4}}}$), maar die twee bekrywings is nie heeltemaal identiek nie, omdat rotasie+inversie die element S³_4z oplewer.