Magsverheffing

Magsverheffing is 'n wiskundige bewerking, waarby 'n getal (die faktor of die grondtal van die magsverheffing) herhaaldelik met homself vermenigvuldig word. Die grondtal x verhef tot die mag n word genoteer as xⁿ wat beteken:

{\begin{matrix}x^{n}=&\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} \\&{n\ \mathrm {faktore} }\end{matrix}}

Mens sê: x tot die mag n, of ook kortweg x tot die n-de.

So is 2 tot die mag 3, of 2 tot die derde: 2³ = 2×2×2 = 8, waar 2 die grondtal en 3 die eksponent van die mag 2³ is. Moenie die mag met die eksponent met mekaar verwar nie.

Voorbeelde:

$5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
$x^{2}=x\cdot {}x$
$1^{x}=1$ vir enige getal x

Definisie

Die n^de mag van die grondtal x, genoteerd as $x^{n}$ , is gedefinieer as die produk van n faktore x (met ander woorde: x*x*...; n keer).

Die gebruiklike notasie is om die eksponent n, wat die aantal faktore aangee, hoër te skryf (boskrif).

Deur die uitbreiding van die definisie met:

x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}

kan negatiewe eksponente aangedui word.

'n Verdere uitbreiding is:

x^{\frac {m}{n}}=\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}

,

waarmee gebroke eksponente voorgestel word.

Meer algemeen gedefinieer deur gebruik te maak van 'n logaritme en eksponensiële funksie:

a^{x}=\exp \left(x\cdot \log(a)\right)

Omgekeerde bewerkinge

Omdat magsverheffing nie kommutatief is nie,

\mathbf {2^{3}=8}

terwyl

\mathbf {3^{2}=9}

,

is twee omkeer bewerkings nodig: worteltrek en logaritme

\mathbf {{\sqrt[{3}]{8}}=2}

en

\mathbf {^{2}\!\log 8=3}

t.o.v.

\mathbf {{\sqrt[{2}]{9}}=3}

en

\mathbf {^{3}\!\log 9=2}

.

Mag hou verband met het begrip graad by polinome en vergelykings. 'n Tweedegraadse vergelyking is 'n vergelyking waarin die hoogste mag 2 is.

Berekeninge met magte

Die onderstaande reëls kan gebruik word tydens berekeninge met magte:

$x^{a}.x^{b}=x^{a+b}$
${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$
$\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$
$\left(xy\right)^{a}=x^{a}y^{a}$
$x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$
${\frac {1}{\left(x/y\right)^{a}}}=\left({\frac {x}{y}}\right)^{-a}=\left({\frac {y}{x}}\right)^{a}$

Enkele spesiale gevalle word hieronder genoem:

Vir a≠ 0 is:

$a^{0}=1\,$
$a^{-1}={\frac {1}{a}}\,$

Vir a>0 is:

$0^{a}=0\,$

Afgeleides

Stel die a-de mag van x op as funksie van x, dus vir sekere eksponent a:

f\left(x\right)=x^{a}

dan word die afgeleide gegee deur:

f'\left(x\right)=ax^{a-1}

Stel die mag op as funksie van die eksponent, dus vir sekere grondtal a:

g\left(x\right)=a^{x}

dan word die afgeleide gegee deur:

g'\left(x\right)=a^{x}\ln(a)

Sien ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.