Kommutatiewe bewerking

'n Funksie of binêre bewerking ${\displaystyle f:A\times B\rightarrow C}$ word kommutatief genoem wanneer daar vir enige y in A en enige z in B geld dat
${\displaystyle f(y,z)=f(z,y)}$; anders word die bewerking nie-kommutatief genoem.

Die vermenigvuldiging van reële getalle is kommutatief aangesien

${\displaystyle yz=zy}$

vir alle reële getalle y en z. Aan die ander kant, is die aftrekking van reële getalle nie-kommutatief nie, aangesien

${\displaystyle y-z=z-y}$

as en slegs as y en z identies is.

Verder as

${\displaystyle f(y,z)=f(z,y)}$

vir 'n spesifieke paar elmente y en z, dan word gesê dat y en z, kommuteer. Elke element kommuteer met homself en in 'n groep kommuteer elke element met die identiteit, met sy eie inverse en met sy eksponent.

Die bekendste voorbeelde van kommutatiewe binêre bewerkings is sommering en vermenigvuldiging van reële getalle; byvoorbeeld:

• 4 + 5 = 5 + 4 (aangesien beide vergelykings die resultaat 9 lewer)
• 2 × 3 = 3 × 2 (aangesien beidie vergelykings die resultaat van 6 lewer)

Verdere voorbeelde van kommutatiewe binêre bewerkings sluit sommering en vermenigvuldiging van komplekse getalle, sommering van vektore en die snyding- en vereniging van versamelings. In elke geval is hierdie bewerkinge kommutatief oor die getaldomein in sy geheel.

Die nie-kommutatiewe binêre bewerkings is aftrekking (a − b), deling (a/b), magsverheffing (a^b), funksiesamestelling (f o g), tetrasie (a ↑↑b), matriksvermenigvuldiging en kwarternêre vermenigvuldiging.

'n Baie goeie voorbeeld van nie-kommutatiwiteit uit die alledaagse lewe is die Rubik's Cube: dier byvoorbeeld die voorste vlak kloksgewys te draai, die boonste vlak kloksgewys te draai en die voorste vlak antikloksgewys te draai lewer nie dieselfde resultaat wanneer die volgorde van die aksies omgeruil word nie. Hierdie is tipies 'n verskynsel wat in groepteorie bestudeer word.

Die onderstel van die domein waarop 'n bewerking kommutatief uitgevoer kan word, word soms die middel in algebra genoem.

'n Abeliese groep is 'n groep waarvan die groepsbewerkinge kommutatief is. 'n Kommutatiewe ring is 'n ring waarvan die vermenigvuldiging kommutatief is (Sommering in 'n ring is altyd kommutatief). In 'n veld is beide sommering en vermenigvuldiging kommutatief.

Kommutatiwiteit kan ook 'n ander naam wees vir simmetrie. Met ander woorde veronderstel ons los 'n probleem op wat die parameters x en y bevat en bepaal dan dat daardie oplossing gelykstaande is aan ${\displaystyle f(x,y)}$. As daar 'n onderstel van waardes vir x en y bestaan waar die twee waardes uitgeruil kan word sonder om die funksie te beïnvloed, dan is die probleem simmetries. Simmetrie vloei normaalweg in wiskunde uit vanaf eenvoudiger simmetrie en word dikwels gebruik vir verskeie soorte bewyse.