Brahmagupta

Brahmagupta het ’n belangrike begrip in wiskunde, naamlik die getal nul, gebruik.[4] Die Brahmasphuta-siddhanta is die oudste bekende geskrif wat nul as ’n egte getal beskou en nie net as ’n plaasvervangende syfer wat ’n ander getal verteenwoordig, soos die Babiloniërs, of as ’n simbool wat ’n gebrek aan ’n hoeveelheid uitdruk, soos Ptolemaeus en die Romeine, nie.

Brahmagupta het reëls opgestel vir die rekenkundige gebruik van nul en van negatiewe getalle. Sy reëls is nagenoeg gelyk aan die moderne reëls.

In hoofstuk 18 van die Brahmasphuta Siddhanta beskryf Brahmagupta rekenkundige bewerkings van negatiewe getalle, eerstens optel en aftrek:

18.30. Die som van twee positiewe getalle is positief, die som van twee negatiewe getalle negatief; die som van ’n positiewe en ’n negatiewe getal is hulle verskil; as hulle gelyk is, is die som nul. Die som van ’n negatiewe getal en nul is negatief, dié van ’n positiewe getal en nul positief, die som van twee nulle is nul.

[...]

18.32. ’n Negatiewe getal minus nul is negatief, ’n positiewe getal minus nul is positief; nul minus nul is nul; as ’n mens ’n positiewe getal aftrek van ’n negatiewe getal of ’n negatiewe getal van ’n positiewe getal, dan moet die getalle opgetel word.[5]

Vervolgens beskryf hy vermenigvuldiging:

18.33. Die produk van ’n negatiewe en ’n positiewe getal is ’n negatiewe getal, die produk van twee negatiewe getalle is positief, en die produk van twee positiewe getalle is positief.[5]

Die belangrikste verskil tussen moderne wiskunde en Brahmagupta se reëls is sy begrip van deling deur nul. In die moderne rekenkunde word dit nie gedefinieer nie. Brahmagupta het dit wel gedoen en gesê nul gedeel deur nul is gelyk aan nul.

18.34. ’n Positiewe getal gedeel deur ’n positiewe getal of ’n negatiewe getal gedeel deur ’n negatiewe getal is positief; ’n nul gedeel deur nul is nul; ’n positiewe getal gedeel deur ’n negatiewe getal is negatief; ’n negatiewe getal gedeel deur ’n positiewe getal is negatief.
18.35. ’n Negatiewe of ’n positiewe getal gedeel deur nul het dié nul as deler; nul gedeel deur ’n negatiewe of ’n positiewe getal het dié negatiewe en positiewe getal as ’n deler. Die kwadraat van ’n negatiewe of positiewe getal is positief; die kwadraat van nul is nul. Dit waarvan die kwadraat die kwadraat is, is sy vierkantswortel.[5]

Brahmagupta was ook die eerste persoon wat algebra gebruik het om sterrekundige vraagstukke op te los. Deur die Brahmasphuta-siddhanta het die Arabiese wêreld kennis van Indiese wiskunde en sterrekunde opgedoen. Die sterrekundige Kankah het die Brahmasphuta-siddhanta gebruik om die Hindoeïstiese stelsel van rekenkundige sterrekunde aan kalief Al-Mansoer (712-775) van die Abbasidiese Ryk uit te lê. Al-Fazari het toe, op versoek van die kalief, die Brahmasphuta-siddhanta in Arabies vertaal onder die titel Sindhind.

In hoofstuk 12 vers 40 gee Brahmagupta ’n waarde vir pi.

12.40. Die deursnee en die kwadraat van die radius [elk] vermenigvuldig met 3 is [respektiewelik] die praktiese omtrek en die oppervlakte van ’n sirkel. Die akkurate [waardes] is die vierkantswortels van die kwadrate [van die omtrek en die oppervlakte] vermenigvuldig met tien.[5]

Brahmagupta gebruik dus 3 as ’n "praktiese" waarde vir pi, en √10 (3,16227766) as ’n "akkurate" waarde daarvoor. Die "akkurate" waarde verskil bitter min van die moderne waarde.