Archimedesspiraal

Die hoek ${\displaystyle \alpha }$ tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellingshoek genoem en ${\displaystyle \tan \alpha }$ die poolhelling. Die verwysing vir die polêre hellingshoek van die Archimedesspriaal word uitgedruk as:

${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\theta }}\ }$

Die oppervlak van 'n sektor van 'n spiraal (sien diagram) van met vergelyking ${\displaystyle r=r(\theta )}$ is

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r(\theta )^{2}\;d\theta \ .}$

In die geval van die Archimedesspriaal met die beskywing ${\displaystyle r=a\theta }$ is die vergelyking

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}a^{2}\theta ^{2}\;d\theta ={\frac {a^{2}}{6}}{\big (}\theta _{2}^{3}-\theta _{1}^{3}{\big )}\ }$

Die lengte van 'n boog van 'n kurwe met poolvergelyking ${\displaystyle r=r(\theta )}$ is

${\displaystyle L=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\theta )\right)^{2}+r^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta \ .}$

Vir die Archimedesspriaal ${\displaystyle r=a\theta \;}$ is die lengte

${\displaystyle L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\theta ^{2}}}+r^{2}}}\;d\theta =a\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {1+\theta ^{2}}}d\theta }$