Alfred Tarski

Tarski publiseer sy eerste artikel op 19-jarige ouderdom. Die onderwerp was die versamelingsleer, 'n onderwerp waarmee hy hom sy hele lewe besig sou hou. In 1924 bewys Tarski en Stefan Banach dat wanneer mens die keuse aksioma aanvaar, 'n massiewe bal gesny kan word in 'n eindige aantal stukke, hierdie stukke kan weer aanmekaar gesit word gestel in 'n aansienlik groter massiewe bal as die oorspronklike; van 'n ertjie kan mens so 'n son maak. Na keuse kan mens van een bal ook twee maak, beide met presies dieselfde afmetings as die oorspronklike. Hierdie teen-intuïtieve resultaat word vandag in die Banach-Tarski-paradoks genoem.

In A decision method for elementary algebra and geometry het Tarski deur middel van die metode van kwantoreneliminasie gesien dat die eerste ordeteorie van die reëlegetalle onder optelling en vermenigvuldiging beslisbaar is. Alhoewel hierdie resultaat pas in 1948 gepubliseer is, dateer dit van die 1930s. Dit word genoem in Tarski (1931). Dit is 'n baie merkwaardige resultaat, aangesien Alonzo Church in 1936 bewys het dat die Peano-rekenkunde (die teorie van die natuurlike getalle) nie beslisbaar is nie. Die Peano-rekenkunde is ook nie volledig weens die onvolledigheidstelling van Gödel. In sy Undecidable theories (1953) bewys Tarski en andere dat baie wiskundige stelsels, waaronder roosterteorie, abstrakte projektiewe meetkunde, en sluitingsalgebra almal onbeslisbaar is. Die teorie van die Abelse groepe is wel beslisbaar, maar dié van die nie-abelse groepe is nie.

Tarski word veral bekend deur sy semantic theory of truth (semantiese waarheidsteorie), waarmee hy 'n geldige en bruikbare definisie van die waarheid wou gee. Hy fokus hiermee veral op formele tale.

Met sy teorie wou Tarski 'n antwoord gee op die vraag: Wat maak 'n uitspraak waar? Of: Wat is die verskil tussen 'n waar en 'n onwaar uitspraak? Byvoorbeeld: is die uitspraak "Sneeu is wit" waar? En as dit ja is, waarom?

Met hierdie probleem bly die filosofie al jare lank besig. Die oplossing vir dié probleem word meestal gesoek in 'n sogenaamde korrespondensieteorie. Korrespondensieteorieë het almal een aangeleentheid in gemeen: die waarheid van 'n uitspraak hang af van die verhouding tussen die uitspraak en die wêreld (die werklikheid). 'n Uitspraak is waar as dit ooreenstem met die werklikheid. Dit blyk egter moeilik om presies te definieer wat dit beteken en om te stel dat 'n uitspraak "ooreenstem" met die werklikheid. Tarski breek met hierdie tradisionele benadering.

Om 'n definisie van die waarheid van 'n uitspraak te kan gee vir 'n taal moet ons, aldus Tarski, die taal tot voorwerp maak van 'n metataal ontwerp, waarin uitsprake geformuleer kan word oor hierdie voorwerptaal en ook 'n waarheidskriterium opgestel kan word. Neem byvoorbeeld die volgende uitspraak:

Die uitspraak "sneeu is wit" is waar slegs as sneeu wit is, dan net in hierdie die vorm: is waar en slegs as;

waarvolgens 'n uitspraak in die voorwerptaal is, en die benoeming van hierdie uitspraak in die metataal. In die voorbeeld van die wit sneeu is "sneeu wit" 'n benoeming (naam) in die metataal, en hierdie naam stem ooreen met die uitspraak dat sneeu wit is in die voorwerptaal. Hierdie streng skeiding tussen voorwerptaal en metataal is nodig om die probleem van die leunaarsparadoks op te los.

Die leunaarsparadoks kan as volg geformuleer word:

Hierdie sin is onwaar

Hierdie paradoks is moontlik omdat die taal waarin dit gestel is (Afrikaans) 'n geslote taal is. Tarski onderskei twee soorte tale naamlik geslote en oop tale. 'n Geslote taal is 'n taal waarin dit moontlik is om 'n uitspraak te formuleer oor die waarheid van 'n ander (of dieselfde) uitspraak in die taal. In oop tale, waarin dit nie moontlik is om uitsprake te formuleer oor die waarheid van uitsprake in die taal nie, is formulering van die leunaarparadoks nie moontlik nie.

Omdat 'n waarheiddefinisie vir alle uitsprake in 'n taal moet aandui of dit waar is of nie, is dit belangrik om die leunaarsparadoks te omseil. Tarski doen dit deur onderskeid te maak tussen die geslote metataal en die oop voorwerptaal. Omdat spreektaal 'n geslote taal is, meen Tarski dat dit nie moontlik is om 'n waarheiddefinisie in spreektaal te gee nie. Hy beperk hom vir hierdie doel tot formele tale.